%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{color}
\usepackage{fancyhdr}
\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{Created=Tuesday, November 16, 2004 21:57:48}
%TCIDATA{LastRevised=Tuesday, November 16, 2004 22:33:27}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
\geometry{margin={1cm,2cm}}
\pagestyle{fancy}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\begin{center}
{\Large ESG 1983 Option technologique\vspace{2cm}}
\end{center}
\section*{Problème 1 :}
Dans ce problème, $\mathbb{R}_{n}[X]$ désigne l'espace vectoriel des polynô%
mes de degré inférieur ou égal à $n,$ $B$ et $C$\ sont respectivement les
bases canoniques de $\mathbb{R}_{n}[X]$ et $\mathbb{R}^{n+1}$ ($n$ est consid%
éré égal à $2$ sauf en I.1) )
%TCIMACRO{%
%\TeXButton{TeX field}{\renewcommand\theenumi{\Roman{enumi}}
%\renewcommand\theenumii{\arabic{enumii}}
%\renewcommand\theenumiii{\alph{enumiii}}}}%
%BeginExpansion
\renewcommand\theenumi{\Roman{enumi}}
\renewcommand\theenumii{\arabic{enumii}}
\renewcommand\theenumiii{\alph{enumiii}}%
%EndExpansion
\begin{enumerate}
\item Si $s$ est un réel, on définit l'application $:\varphi _{s}:\mathbb{R}%
_{n}[X]\rightarrow \mathbb{R}^{n+1}$ par
\begin{equation*}
\varphi _{s}(P)=\left( \widetilde{P}(s),\dfrac{\widetilde{P}^{\prime }(s)}{1!%
},\dfrac{\widetilde{P}"(s)}{2!},\ldots ,\dfrac{\widetilde{P}^{(n)}(s)}{n!}%
\right) ,
\end{equation*}%
où $\widetilde{P}^{(i)}(s)$ désigne la valeur en $s$ de la fonction polynô%
miale dérivée $i^{i\grave{e}me}$ de $P.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\varphi _{s}$ est une application linéaire.\newline
\emph{On suppose désormais que }$n=2.$
\item Montrer que $A_{s}=%
\begin{pmatrix}
1 & s & s^{2} \\
0 & 1 & 2s \\
0 & 0 & 1%
\end{pmatrix}%
$ représente $\varphi _{s}$ dans les bases $B$ et $C.$\newline
En déduire que $\varphi _{s}$ est bijective quel que soit le réel $s.$
\item On désigne par $\psi _{s,t}$ l'application linéaire $:\varphi
_{s}-\varphi _{t}$ ($s$ et $t$ sont deux réels distincts).
\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice $B_{s,t}$ associée à $\psi _{s,t}$ dans les
bases $B$ et $C.$
\item Préciser le rang de $\psi _{s,t}$. En déduire la dimension du noyau de
$\psi _{s,t}.$
\item Déterminer l'ensemble des polynômes $P$ de degré inférieur ou égal à $%
2 $, tels que $\varphi _{s}(P)=\varphi _{t}(P)$ avec $s\neq t.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item (On suppose encore que $n=2).$
\begin{enumerate}
\item Calculer $A_{s}.A_{t}$ où $s$ et $t$ sont des réels.\newline
En déduire que $\left\{ A_{s}\right\} _{s\in \mathbb{R}}=A$ est un
sous-groupe abélien des matrices inversibles de dimension $3.$
\item En déduire le polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $2,$ tel que $%
\widetilde{P}(1)=\widetilde{P}^{\prime }(1)=1$
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $A$ est inclus dans l'espace vectoriel $E$ des matrices
engendré par $I,$ $M=%
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0%
\end{pmatrix}%
$ et $M^{2}.$
\item Montrer que cette famille est une base de $E.$\newline
$A$ est-il un sous-espace vectoriel de $E$ ? Comparer l'espace vectoriel
engendré par $A$ et $E.$
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E$ est une algèbre commutative de matrices.
\item Exprimer en fonction de $I,M,M^{2}$ le produit
\begin{equation*}
(aI+bM+cM^{2})(xI+yM+zM^{2}),
\end{equation*}%
déterminer les éléments inversibles de $E.$
\end{enumerate}
\item Montrer que l'ensemble des matrices qui commutent avec les éléments de
$A$ est l'espace vectoriel $E.$\newline
Si $N$ est un élément de $E,$ on lui associe $\sigma (N)$ le réel égal à la
somme des trois termes de la troisième colonne de $N,$ c'est-à-dire%
\begin{equation*}
\text{si }N=%
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
0 & \alpha & 2\beta \\
0 & 0 & \alpha%
\end{pmatrix}%
,\qquad \sigma (N)=(\alpha +2\beta +\gamma ).
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\sigma $ est une forme linéaire sur $E.$ Préciser la
dimension de $\ker (\sigma ).$
\item Montrer que $\ker (\sigma )\cap A$ se réduit à un seul élément que
l'on précisera.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Problème 2 :}
\begin{enumerate}
\item Un jeu réunit 2 joueurs A et B. A chauqe manche, le joueur A (resp. B)
a une probabilité $p$ (resp. $q)$ de remporter la manche. On supposera que $%
p+q=1$ et que les résultats obtenus par un joueur au cours de manches diffé%
rentes sont indépendants. Le jeu s'arrête dès qu'un joueur remporte deux
manches de suite (ce joueur est alors déclaré vainqueur).
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité pour que le jeu s'achève sur la victoire de
A au bout de $k$ manches $(k\geqslant 2)$ ?
\item Quelle est la probabilité pour que le jeu s'achève en moins (strict)
de $k$ manches sur la victoire de A $(k\geqslant 3)$ ?
\item Quelle est la probabilité pour que le jeu s'achève en moins (strict)
de $k$ manches ?
\end{enumerate}
\item Soit $U$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des suites réelles et $%
(a,b,c)$ un élément de $(\mathbb{R}^{\times })^{3}.$ On admettra que
l'ensemble des suites $(U_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ vérifiant la relation
\begin{equation*}
(S):\forall n\geqslant 1,\quad aU_{n+2}+bU_{n+1}+cU_{n}=0
\end{equation*}%
constitue un sous-espace vectoriel de dimension 2 de $U.$
\begin{enumerate}
\item On suppose que $b^{2}-4ac>0.$\newline
Montrer qu'il existe $(\lambda _{1},\lambda _{2})\in \mathbb{R}^{2}$ tel que
le terme général $U_{n}$ de toute suite réelle vérifiant $(S)$ s'écrive :%
\begin{equation*}
U_{n}=\alpha (\lambda _{1})^{n}+\beta (\lambda _{2})^{n},\quad n\geqslant 1
\end{equation*}%
(Pour cela, on trouvera l'ensemble des suites réelles de terme général $%
U_{n}=\lambda ^{n}$ vérifiant la relation $(S)$ et on utilisera le résultat
admis précédemment). Calculer $\alpha $ et $\beta $ en fonction de $U_{1}$
et $U_{2}.$
\item Trois joueurs A,B,C s'affrontent dans un jeu à trois. A chaque manche,
le joueur A (resp. C) a une probabilité $p$ (resp. $q)$ d'enlever la manche.
Le joueur B a lui aussi une probabilité $p$ d'enlever une manche donnée. On
supposera que $2p+q=1$ et que les résultats obtenus par un joueur au cours
des manches différentes sont indépendants. Le jeu s'achève dès qu'un joueur
enlève deux manches successives (ce joueur est alors déclaré vainqueur).%
\newline
On désigne par $p_{n}(A)$ $(n\geqslant 1)$ la probabilité de l'évènement
suivant : \newline
"le joueur A emporte la $n^{i\grave{e}me}$ manche et le jeu continue "%
\newline
(autrement dit aucun joueur n'a encore enlevé 2 manches de suite et la $n^{i%
\grave{e}me}$ manche est remportée par A). On définit de la même manière $%
p_{n}(B)$ et $p_{n}(C)$ pour $n\geqslant 1.$
\begin{enumerate}
\item Calculer $p_{n}(A)$ en fonction de $p_{n-1}(B)$ et $p_{n-1}(C).$
\item Calculer $p_{n}(C)$ en fonction de $p_{n-1}(A)$ et $p_{n-1}(B).$
\item Justifier l'égalité $p_{n}(A)=p_{n}(B)$ $n\geqslant 1.$
\item Déduire de ce qui précède une relation de la forme%
\begin{equation*}
ap_{n}(A)+bp_{n-1}(A)+cp_{n-2}(A)=0\quad (n\geqslant 2)
\end{equation*}
\item Calculer directement $p_{1}(A)$ et $p_{2}(A).$\newline
En déduire la valeur de $p_{n}(A)$ $(n\geqslant 1).$
\item Calculer $p_{n}(B)$ et $p_{n}(C).$ En déduire la probabilité $P_{n}$
de l'évènement "le jeu n'est toujours pas fini à la $n^{i\grave{e}me}$
manche".\newline
Calculer $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }p_{n}.$ Interpréter ce résultat.
\item Calculer les probabilités des 2 évènements suivants :\newline
"le jeu s'achève après $n$ manches sur la victoire de A" et \newline
"le jeu s'achève après $n$ manches sur la victoire de C"
\item Application numérique $p=\dfrac{8}{19},\quad q=\dfrac{3}{19}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}