%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\Large ESG 1991 Option économique\vspace{2cm}}
\end{center}
\section*{Exercice I}
Soit $E$ l'ensemble des applications $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ vé%
rifiant les conditions suivantes%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{l}
$\forall t\in ]-\infty ,0[,\quad f(t)=0\quad \text{et}\quad \forall t\in
\lbrack 0,+\infty \lbrack ,\quad f(t)\geqslant 0$ \\
$f\text{ continue sur }]-\infty ,0[\text{ et }f\text{ continue sur }%
[0,+\infty \lbrack \text{ et }\int\limits_{-\infty }^{+\infty }f(t)dt=1$%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Soit $\lambda $ un réel strictement positif et soit $f$ la fonction de
$\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle aue .%
\begin{equation*}
\forall t\in ]-\infty ,0[,\quad f(t)=0\quad \text{et}\quad \forall t\in
\lbrack 0,+\infty \lbrack ,\quad f(t)=\lambda e^{-\lambda t}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ appartient à $E.$
\item Etudier les variations de $f.$
\end{enumerate}
\item Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $0<\alpha <\lambda .$\newline
Soit $g$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle que
\begin{equation*}
\forall t\in ]-\infty ,0[,\quad g(t)=0\quad \text{et}\quad \forall t\in
\lbrack 0,+\infty \lbrack ,\quad g(t)=\alpha e^{-\alpha t}
\end{equation*}%
Soit $t_{1}>0$ et $f(t_{1})=g(t_{1})$ et soit $t_{2}>t_{1}.$\newline
Comparer les nombres $\int\limits_{0}^{t_{2}}f(t)dt$ et $\int%
\limits_{0}^{t_{2}}g(t)dt$ puis $\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}}f(t)dt$ et $%
\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}}g(t)dt.$
\item Représenter dans un même repère les graphes des fonctions $f$ et $g$
lorsque $\lambda =2e$ et $\alpha =e$
\end{enumerate}
\section*{Exercice II}
\begin{description}
\item[A)] Soit $\lambda $ un réel, $\lambda >0$. Soit $X$ une variable alé%
atoire réelle absolument continue admettant comme densité de probabilité la
fonction $f$ définie par
\begin{equation*}
\forall t\in ]-\infty ,0[,\quad f(t)=0\quad \text{et}\quad \forall t\in
\lbrack 0,+\infty \lbrack ,\quad f(t)=\lambda e^{-\lambda t}
\end{equation*}%
Déterminer la fonction de répartition de $X.$\newline
Calculer l'espérance mathématique et la variance de $X.$\newline
\emph{Rappel} : Une telle variable réelle aléatoire $X$ suit une loi
exponentielle de paramètre $\lambda $
\item[B)] Une firme vend des appareils électriques. On admet que la durée de
bon fonctionnement de chacun de ces appareils exprimée en mois est une
variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda
. $ On suppose que chacun de ces appareils a une probabilité $p=0,02$ de
tomber en panne pendant les six premiers mois de son utilisation.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le paramètre $\lambda $ de la loi de $X;$ on donne
logarithme népérien de $0,98=-0,02$
\item Calculer la probabilité de l'évènement $X\geqslant 8$ sachant $%
X\geqslant 2.$
\item Cette firme a vendu $N$ appareils. Soit $Y$ la variable aléatoire é%
gale au nombre d'appareils qui tombent en panne pendant les six premiers
mois de leur utilisation, déterminer la loi de probabilité de $Y$ et
calculer l'espérance mathématique et la variance de $Y.$
\item On suppose $N=100.$ En utilisant une approximation de $Y$ par une loi
de Poisson, calculer la probabilité de l'évènement $(Y=4)$ puis de $(Y>4).$
\item La firme envisage de vendre ces appareils avec une garantie de six
mois et pour cela majore de 20 F le prix de chaque appareil. En revanche,
elle assume durant cette période de garantie, les réparations (toujours de mê%
me nature) qui lui coûtent 500 F par réparation.\newline
La majoration du prix de vente par appareil suffit-elle à couvrir avec une
probabilité supérieure ou égale à 0,90 les frais de réparations entrainés
par cette politique de vente dans le cas où
\begin{enumerate}
\item $N=100$ ?
\item $N=200$ ?
\end{enumerate}
\noindent On donne $\sum\limits_{k=0}^{7}e^{-4}\dfrac{4^{k}}{k!}=0,9489$
\end{enumerate}
\end{description}
\section*{Exercice III}
Soit $\mathcal{M}$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $2$ à
coefficients réels
%TCIMACRO{%
%\TeXButton{TeX field}{\renewcommand\theenumi{\Roman{enumi}}
%\renewcommand\theenumii{\arabic{enumii}}
%\renewcommand\theenumiii{\alph{enumiii}}
%\renewcommand\labelenumii{\theenumii)}}}%
%BeginExpansion
\renewcommand\theenumi{\Roman{enumi}}
\renewcommand\theenumii{\arabic{enumii}}
\renewcommand\theenumiii{\alph{enumiii}}
\renewcommand\labelenumii{\theenumii)}%
%EndExpansion
\begin{enumerate}
\item Soit $A\in \mathcal{M},$ on pose $A=(a_{i,j})$\newline
$a_{i,j}$ désigne le terme de la matrice situé à la $i^{i\grave{e}me}$ ligne
et la $j^{i\grave{e}me}$ colonne.\newline
Soit $f$ l'application de $\mathcal{M}$ dans $\mathbb{R}$ telle que :%
\begin{equation*}
\forall A\in \mathcal{M},\quad f:A=(a_{i,j})\mapsto
f(A)=\sum\limits_{i=1}^{2}a_{i,i}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est linéaire et que $\forall A\in \mathcal{M},\quad
\forall B\in \mathcal{M},\quad f(AB)=f(BA).$
\item Soit $E=\{A\in \mathcal{M}$ telles que $f(A)=0\}.$\newline
Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}.$
\item Déterminer $3$ matrices $J,K,L$ appartenant à $\mathcal{M}$ telles que
$(J,K,L)$ constituent une base de $E.$
\item Montrer que si $A$ et $B$ sont deux matrices de $\mathcal{M}$
semblables alors $f(A)=f(B).$
\end{enumerate}
\item Soit $F$ l'ensemble des matrices de $\mathcal{M}$ de la forme
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a & c \\
1-a & 1-c%
\end{pmatrix}%
\text{ avec }0