<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st


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\begin{document}


\begin{center}
\textbf{ÉCOLE SUPÉRIEURE LIBRE DES SCIENCES COMMERCIALES APPLIQUÉES\vspace{%
0.7cm}}

\textbf{MATHÉMATIQUES 2ème ÉPREUVE\bigskip }

OPTION : GENERALE\vspace{0.7cm}
\end{center}

\section*{EXERCICE\ I}

\begin{enumerate}
\item Montrer que, quels que soient les réels $a$ et $b$ tels que $0&lt;a&lt;b$ :%
\begin{equation*}
\dfrac{1}{b}(b-a)\leqslant \int\limits_{a}^{b}\dfrac{dt}{t}\leqslant \dfrac{1%
}{a}(b-a)
\end{equation*}

\item Montrer que pour tout entier $n&gt;0$ :%
\begin{equation*}
\dfrac{1}{n+1}\leqslant \ln (n+1)-\ln (n)\leqslant \dfrac{1}{n}
\end{equation*}

\item On pose, pour tout entier $n\geqslant 0$ : 
\begin{equation*}
u_{n}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{n}
\end{equation*}%
Déduire du 2) que $\ln (n+1)\leqslant u_{n}\leqslant 1+\ln n.$\newline
La suite $u_{n}$ est-elle convergente ?

\item Soit $(v_{n})$ la suite définie par $v_{n}=u_{n}-\ln n$ avec $%
n\geqslant 0.$\newline
Démontrer que la suite $(v_{n})$ est convergente, en vérifiant qu'elle est dé%
croissante et minorée. (On ne demande pas de chercher sa limite).

\item En s'inspirant des méthodes développées dans les questions précé%
dentes, démontrer que la suite 
\begin{equation*}
w_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +%
\dfrac{1}{\sqrt{n}}-2\sqrt{n}
\end{equation*}%
est convergente.
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE\ II}

On rappelle qu'un polynôme est dit normalisé, si le coefficient de son terme
de plus haut degré est égal à $1.$

\begin{enumerate}
\item Déterminer tous les polynômes normalisés du troisième degré et à
coefficients complexes vérifiant la relation :%
\begin{equation*}
P(X)P(-X)+P(X^{2})=0
\end{equation*}

\item On considère le polynôme :%
\begin{equation*}
Q(X)=X^{3}+\dfrac{1}{2}(1+i\sqrt{7})X^{2}-\dfrac{1}{2}(1-i\sqrt{7})X-1
\end{equation*}%
Soit $\alpha $ l'une quelconque de ses racines. Montrer que $\beta =\alpha
^{2}$ et $\gamma =\beta ^{2}$ sont également des racines de $Q(X).$

\item Montrer que les trois nombres $\alpha ,\beta $ et $\gamma $ sont deux à
deux distincts.

\item Exprimer les racines de $Q(X)$ sous forme trigonométrique, en
examinant leur produit et leur somme.

\item Calculer les expressions suivantes :%
\begin{equation*}
\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2};\quad \alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma
^{3}\quad \text{et}\quad (\alpha +\beta )(\alpha +\gamma )(\beta +\gamma )
\end{equation*}
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE\ III}

On considère la série double suivante : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{c}
Balance commerciale de la France 1980 CAF-FOB \\ 
\\ 
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
&amp;  &amp;  \\ 
Nomenclature &amp; Exportation FOB &amp; Importation CAF \\ 
pour les études conjoncturelles &amp; milliards de F &amp; milliards de F \\ 
&amp;  &amp;  \\ \hline
&amp;  &amp;  \\ 
\multicolumn{1}{|l|}{Produit de l'agriculture, sylviculture, pêche} &amp; 35,04
&amp; 32,08 \\ 
\multicolumn{1}{|l|}{Produits des industries agricoles et alimentaires} &amp; 
44,78 &amp; 35,99 \\ 
\multicolumn{1}{|l|}{Produits énergétiques} &amp; 18,81 &amp; 150,53 \\ 
\multicolumn{1}{|l|}{Matières premières minérales} &amp; 1,27 &amp; 7,37 \\ 
\multicolumn{1}{|l|}{Métaux et produits du travail des métaux} &amp; 63,62 &amp; 
65,05 \\ 
\multicolumn{1}{|l|}{Produits chimiques et demi-produits divers} &amp; 70,14 &amp; 
70,80 \\ 
\multicolumn{1}{|l|}{Biens d'équipement professionnels} &amp; 97,61 &amp; 88,70 \\ 
\multicolumn{1}{|l|}{Bien d'équipement ménagers} &amp; 5,48 &amp; 11,04 \\ 
\multicolumn{1}{|l|}{Equipement automobile des ménages} &amp; 30,24 &amp; 15,56 \\ 
\multicolumn{1}{|l|}{Pièces détachées et matériels utilitaires des
transports terrestres} &amp; 11,44 &amp; 18,07 \\ 
\multicolumn{1}{|l|}{Bien de consommation courante} &amp; 65,34 &amp; 71,80 \\ 
\multicolumn{1}{|l|}{divers} &amp; 4,10 &amp; 1,92 \\ 
\multicolumn{1}{|l|}{} &amp;  &amp;  \\ \hline
\end{tabular}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Déterminer le coefficient de corrélation linéaire ainsi que les équations
des droites de régression. Tracer le nuage de points et les droites sur le mê%
me graphiques.\newline
(On pourra éventuellement modifier les unités)

\label{fin}

\end{document}
</pre></body></html>