%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{ÉCOLE SUPÉRIEURE LIBRE DES SCIENCES COMMERCIALES APPLIQUÉES\vspace{%
0.7cm}}
\textbf{MATHÉMATIQUES 1ère ÉPREUVE\bigskip }
OPTION : ECONOMIQUE\vspace{0.7cm}
\end{center}
\section*{EXERCICE\ I}
On considère les matrices carrées d'ordre 4 suivantes :%
\begin{equation*}
A=%
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3%
\end{pmatrix}%
\qquad \text{et}\qquad B=%
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}%
Pour chaque matrice carrée d'ordre 4, à coefficients réels, on considère
l'application $\phi _{M}$ qui à chaque polynôme $P$ tel que $%
P(X)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}$ de $\mathbb{R}[X]$ associe la matrice $%
\phi _{M}(P)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}M^{k}$\newline
($M^{0}$ désignant la matrice unité)
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $AB=BA.$ Calculer $A^{n}$ et $B^{n}$ pour tout entier
naturel $n.$
\item Calculer $\phi _{A}(P_{1})$ et $\phi _{B}(P_{1})$ dans le cas $%
P_{1}(X)=1+X^{2}.$
\item Pour chaque matrice carré d'ordre 4, on considère l'équation $\phi
_{M}(P)=0.$\newline
S'il existe des solutions non nulles, on appellera solution minimale $P_{0}$
le polynôme de degré minimal et unitaire (c'est-à-dire que $%
P_{0}(X)=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n-1}X^{n-1}+X^{n})$ vérifiant $\phi
_{M}(P_{0})=0.$\newline
Vérifier que $P_{0}(X)=(X-2)(X-3)$ lorsque $M=A.$
\item On pose $S=A+B.$
\begin{enumerate}
\item Calculer $S^{n}$ pour tout entier naturel.
\item En déduire $\phi _{S}(P)$ pour tout polynôme $P.$\newline
On explicitera les coefficients de la matrice $\phi _{S}(P)$ à l'aide des
valeurs particulières prises par $P$ et ses dérivées : $P(\alpha ),$ $%
P(\beta ),$ $P^{\prime }(\alpha ),$ $P^{\prime }(\beta ),$ $P^{\prime \prime
}(\alpha ),$ ... où $\alpha $ et $\beta $ sont deux nombres réels à dé%
terminer.
\item Montrer que $\phi _{S}(P)=0$ si et seulement si $P$ est tel que :
\begin{equation*}
P(X)=(X-3)(X-2)^{3}Q(X)\text{ où }Q(X)\text{ est un polynôme de }\mathbb{R}%
[X]
\end{equation*}
\item En déduire alors la solution minimale $P_{0}$ définie dans la question
3) pour la matrice $M=S.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE\ II}
Pour tout nombre réel $k$ non nul et différent de $1,$ on considère la
fonction%
\begin{equation*}
f_{k}:\left\{
\begin{array}{ccl}
\mathbb{R}_{+}^{\times } & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x & \mapsto & x^{x^{k}}=\exp (x^{k}\ln x)%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Etudier la continuité de $f_{k}$ à droite de $x=0.$\newline
En déduire que $f_{k}$ peut être prolongée par continuité sur $[0,+\infty
\lbrack ;$ on notera $\widetilde{f_{k}}$ la fonction $f_{k}$ ainsi prolongée.
\item Etudier la dérivabilité de $\widetilde{f_{k}}$ à droite de $x=0.$
\item Etudier les variations des fonctions $\widetilde{f_{k}}.$
\item Construire les diverses formes des courbes $(C_{k})$ représentatives
de ces fonctions.
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE\ III}
Soit $X$ une variable aléatoire réelle associée à l'intervalle de temps sé%
parant deux arrivées successives d'un évènement.\newline
On dit que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $(\theta ,\sigma )$ (o%
ù $\theta $ et $\sigma $ sont deux nombres réels strictement positifs) si $X$
est absolument continue et admet pour densité la fonction $f_{\theta ,\sigma
}$ définie par :%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{cclc}
f_{\theta ,\sigma }(x) & = & 0 & \text{si }x<\theta \\
f_{\theta ,\sigma }(x) & = & \dfrac{1}{\sigma }\exp (\dfrac{x-\theta }{%
\sigma }) & \text{si }x\geqslant \theta
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction de répartition $F_{\theta ,\sigma }$ de $X.$
\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et la variance $V(X)$
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item On observe un couple de variables aléatoires $(X,Y)$ indépendantes et
de loi exponentielle $(\theta ,\sigma ).$ Quelle est la loi de la variable al%
éatoire $Z=\inf (X,Y)$ ? Calculer $E(Z)$ et $V(Z).$
\item Plus généralement, on observe les intervalles séparant des arrivées
successives et on appelle $(X_{n})$ la suite de variables aléatoires
mutuellement indépendantes et de loi exponentielle de paramètre $(\theta
,\sigma ).$ Quelle est la loi de la variable aléatoire associée au plus
petit des $n$ premiers intervalles : $Z=\inf (X_{1},X_{2},...,X_{n})$ ?%
\newline
Vérifier que $E(Z)=\theta +\dfrac{\sigma }{n}$ et $V(Z_{n})=\dfrac{\sigma
^{2}}{n^{2}}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE\ IV (Les parties A et B sont indépendantes)}
Une fonction numérique strictement positive $f$ représente une fonction de
demande d'un consommateur si elle exprime de lien entre les quantités demandé%
es "y" et le prix "x" d'un bien $y=f(x).$
\subsection*{Partie A :}
Soit $x$ un nombre réel strictement positif, on définit l'élasticité $e(y/x)$
de la demande d'un bien par rapport à son prix par :%
\begin{equation*}
e(y/x)=\dfrac{xf^{\prime }(x)}{f(x)}\text{ où }f^{\prime }\text{ désigne la d%
érivée de }f\text{ par rapport à }x.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Si $x$ est un nombre réel strictement positif et $n$ un entier naturel
non nul, calculer l'élasticité $e(y/x)$ dans les cas suivants :
\begin{enumerate}
\item $y=f(x)=cx^{n}$
\item $y=f(x)=cx^{-n}$
\end{enumerate}
\item Si $f$ et $g$ sont deux fonctions numériques strictement positives
telles que $y=f(x),$ $z=g(x);$ calculer $e(yz/x)$ en fonction de $e(y/x)$ et
$e(z/x).$
\item On pose $X=\ln x$ et $Y=\ln y,$ où $\ln $ désigne le logarithme népé%
rien. Exprimer $e(y/x)$ en fonction de la dérivée de $Y$ par rapport à $X.$
\end{enumerate}
\subsection*{Partie B :}
Une entreprise fixe le prix $x$ d'un certain produit dont les quantités
demandées sont représentées par la variable $y.$\newline
En supposant la demande totalement satisfaite, on définit les fonctions
suivantes de la variable $y$ :
\begin{itemize}
\item Fonction de coût total : $C(y)$
\item Fonction de coût moyen : $C_{m}(y)=\dfrac{C(y)}{y}.$
\item Fonction de coût marginal : $C_{M}(y)=C^{\prime }(y)$ où $C^{\prime }$
désigne la dérivée de $C$ par rapport à $y$
\end{itemize}
\subsubsection*{I)}
Montrer que la courbe représentative du coût marginal coupe la courbe repré%
sentative du coût moyen en son minimum.
\subsubsection*{II)}
On suppose désormais que $C(y)=\dfrac{y^{3}}{40}-3y^{2}+150y+1875$
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Etudier succinctement les variations de la fonction $C_{m}^{\prime }$
sur $\mathbb{R}_{+}^{\times }.$
\item En déduire l'existence d'un nombre réel $\alpha $ unique vérifiant $%
C_{m}^{\prime }(\alpha )=0.$\newline
Vérifier l'encadrement $68,08<\alpha <68,09.$
\item Etudier alors les variations des fonctions $C_{M}$ et $C_{m}.$
\item Vérifier graphiquement le résultat de la question I).
\end{enumerate}
\item En supposant de plus que la fonction de demande est de la forme $%
y=f(x)=\dfrac{1000}{x},$ on définit une fonction bénéfice $B(x)$ par
\begin{equation*}
B(x)=100f(x)-C(f(x))
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Exprimer $B$ en fonction de $x.$
\item Etudier la fonction $B(x)$ et tracer sa courbe représentative.
\item Pour quelle valeur de $x$ ce bénéfice est-il maximal ?
\item Déterminer l'intervalle de prix à l'intérieur duquel l'entreprise fait
des bénéfices.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}