%BECHATA Abdellah
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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{ÉCOLE SUPÉRIEURE LIBRE DES SCIENCES COMMERCIALES APPLIQUÉES\vspace{%
0.7cm}}
\textbf{MATHÉMATIQUES 1ère ÉPREUVE\bigskip }
OPTION : ECONOMIQUE\vspace{0.7cm}
\end{center}
\section*{EXERCICE\ I}
On désigne par $\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})$ l'algèbre des matrices carrées
d'ordre 2 à coefficients réels. On pose
\begin{equation*}
I=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1%
\end{pmatrix}%
\quad J=%
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0%
\end{pmatrix}%
\quad K=%
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0%
\end{pmatrix}%
\quad L=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Soit $S$ l'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R%
})$ définie par : $S(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}.I+\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}.K$
pour tout réel $x.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $S(x).S(x^{\prime })=S(x+x^{\prime })$ pour tous réels $%
x,x^{\prime }.$
\item Calculer $(S(x))^{n}$ pour tout entier relatif $n.$
\end{enumerate}
\item Soit $T$ l'application de $\mathbb{R}^{\times }$ dans $\mathfrak{M}%
_{2}(\mathbb{R})$ définie par : $T(y)=\dfrac{1+y}{2}.I+\dfrac{1-y}{2}L$ pour
tout réel non nul $y.$\newline
Montrer que $T(y).T(y^{\prime })=T(yy^{\prime }).$
\item On pose $U(x,y)=S(x).T(y)$ pour $(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}%
^{\times }.$\newline
Démontrer que la matrice $U(x,y)$ est inversible et que sa matrice $%
U^{-1}(x,y)$ vérifie la relation :%
\begin{equation*}
U^{-1}(x,y)=T(\dfrac{1}{y}).S(-x)
\end{equation*}
\item Donner une expression simple de la matrice : $%
V(x,y)=U^{-1}(x,y).J.U(x,y)$
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE\ II}
\subsection*{I)}
On considère l'application $g$ définie par $g:\left\{
\begin{array}{ccl}
\mathbb{R}\backslash \{0,3\} & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x & \mapsto & \dfrac{2x^{2}-x-6}{2x^{2}(x-3)}%
\end{array}%
\right. $
\begin{enumerate}
\item Déterminer les nombres réels $A,B,C$ tels que pour tout nombre réel
non nul et différent de $3,$ on ait :%
\begin{equation*}
g(x)=\dfrac{A}{x^{2}}+\dfrac{B}{x}+\dfrac{C}{x-3}
\end{equation*}
\item Déterminer l'expression des primitives de $g(x).$\newline
En déduire que les fonctions $f_{k}(x)=ke^{-1/x}\sqrt{\left\vert
x^{2}-3x\right\vert },$ où $k\in \mathbb{R}^{\times }$ et $x\in \mathbb{R}%
\backslash \{0,3\}$, sont solutions de l'équation :%
\begin{equation*}
\dfrac{f_{k}^{\prime }(x)}{f_{k}(x)}=g(x),
\end{equation*}%
où $f_{k}^{\prime }$ désigne la dérivée de $f_{k}.$
\end{enumerate}
\subsection*{II)}
On pose $f(x)=f_{1}(x)=e^{-1/x}\sqrt{\left\vert x^{2}-3x\right\vert }$ pour
tout nombre réel non nul.
\begin{enumerate}
\item Etudier la continuité et la dérivabilité de $f$ sur $\mathbb{R}%
^{\times }.$
\item Dresser le tableau des variations de $f.$ Etudier les branches
infinies.
\item Montrer que : si $x\in \mathbb{R}\backslash \{0,3\},\quad f^{\prime
\prime }(x)=f(x).\left( g^{\prime }(x)+(g(x))^{2}\right) .$\newline
Montrer que $f^{\prime \prime }(x)$ s'annule pour deux valeurs $x_{0}$ et $%
x_{1}.$\newline
Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $x_{0},$ $x_{1},$ $f(x_{0})$
et $f(x_{1}).$
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
\end{enumerate}
\subsection*{III)}
On désigne par $h$ la fonction définie par :%
\begin{equation*}
h(x)=\ln f(x)\text{ si }x\in ]3,+\infty \lbrack \qquad (\ln =\text{
logarithme népérien)}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=1$ a une solution unique dans $]3,+\infty
\lbrack .$ Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette
solution $a.$
\item Dresser le tableau de variations de $h.$ Etudier les branches infinies.
\item Construire la courbe représentative de $h.$
\item Calculer l'aire du domaine plan défini par :%
\begin{equation*}
\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\quad /\quad a\leqslant x\leqslant 4\quad \text{et}%
\quad 0\leqslant y\leqslant h(x)\}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE\ III}
On considère $(\Omega ,\mathcal{P}(\Omega ),P)$ un espace probabilisé et $%
A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ quatre évènements sur cet espace. On pose
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ll}
$S_{1}=\sum\limits_{i=1}^{4}P(A_{i})$ & $S_{3}=\sum\limits_{\substack{ i=1
\\ i