<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st


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\begin{document}


\begin{center}
\textbf{ÉCOLE SUPÉRIEURE LIBRE DES SCIENCES COMMERCIALES APPLIQUÉES\vspace{%
0.7cm}}

\textbf{MATHÉMATIQUES 1ère ÉPREUVE\bigskip }

OPTION: GENERALE\vspace{0.7cm}
\end{center}

\section*{PROBLEME\ 1}

Les parties I et II sont indépendantes

\subsection*{NOTATIONS}

Pour tout entier naturel non nul $m,$ $E_{m}$ désigne l'espace vectoriel des
polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $m.$\newline
On définit une suite de polynômes $(P_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ par :%
\begin{equation*}
P_{0}(X)=1,\quad P_{1}(X)=X,\quad P_{n}(X)=\dfrac{X(X-n)^{n-1}}{n}\quad 
\text{pour }n\geqslant 1
\end{equation*}

\subsection*{Partie I}

\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour $n\geqslant 1:P_{n}^{\prime }(X)=P_{n-1}(X-1).$%
\newline
En déduire que pour $n\geqslant 1:P_{n}^{\prime }(1)=0.$

\item \thinspace 

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. Démontrer que pour tout entier
naturel $k&lt;n,$ on a : $P_{n}^{(k)}(k)=0$\newline
($P_{n}^{(k)}$ désigne la dérivée d'ordre $k$ de $P_{n};$ par convention $%
P_{n}^{(0)}=P_{n})$

\item Quelle est la valeur de $P_{n}^{(n)}(X)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie II}

\begin{enumerate}
\item Montrer que les polynômes $P_{0},$ $P_{1},$ ...., $P_{m}$ forment une
base de $E_{m}.$

\item Pour tout polynôme $P$ de $E_{m},$ montrer que les nombres $P^{(k)}(k)$
où $k$ varie de $0$ à $m,$ constituent les coordonnées de $P$ dans la base $%
(P_{0},P_{1},...,P_{m}).$

\item En déduire que pour tout couple de réels $(x,y)$, on a :%
\begin{equation*}
P_{m}(x+y)=\sum\limits_{k=0}^{m}P_{k}(x)P_{m-k}(y)
\end{equation*}

\item On note $u$ l'endomorphisme de $E_{m}$ qui, à tout polynôme $P$ de $%
E_{m}$ associe le polynôme $Q=u(P)$ défini par 
\begin{equation*}
Q(X)=P^{\prime }(X+1)-P(X)
\end{equation*}%
Donner la matrice de $u$ dans la base $(P_{0},P_{1},...,P_{m})$
\end{enumerate}

\subsection*{Partie III}

Soit $m$ un entier naturel non nul et $a$ un nombre négatif ou nul.

\begin{enumerate}
\item On considère une application $g$ définie sur l'intervalle $I=[a,m]$,
de classe $C^{m}$ sur $I,$ admettant sur $]a,m[$ une dérivée d'ordre $m+1$
et telle que $g^{(k)}(k)=0$ pour $k$ variant de $0$ à $m.$\newline
On admet qu'il existe un point $x_{0}\neq 0$ appartenant à l'intervalle $%
[a,1]$ tel que $g(x_{0})=0$\newline
Montrer que sous ces conditions, il existe un point $x\in ]a,m[$ tel que : 
\begin{equation*}
g^{(m+1)}(c)=0
\end{equation*}

\item Soit $f$ une fonction définie sur $I,$ de classe $C^{m}$ et admettant
sur $]a,m[$ une dérivée d'ordre $m+1.$\newline
En posant $g(x)=f(x)-\sum\limits_{k=0}^{m}f^{(k)}(k)P_{k}(x)-\alpha
P_{m+1}(x)$, ($\alpha $ étant une constante convenablement choisie), déduire
de la question 1), pour tout $x$ compris entre $a$ et $1,$ l'existence d'un
nombre $\xi \in ]a,m[$ tel que 
\begin{equation*}
f(x)=\sum\limits_{k=0}^{m}f^{(k)}(k)P_{k}(x)+P_{m+1}(x)f^{(m+1)}(\xi )
\end{equation*}
\end{enumerate}

\section*{PROBLEME\ 2}

Les parties I et II sont indépendantes

\begin{itemize}
\item Soit $r$ un réel \textit{strictement positif}, on désigne par $f_{r}$
la fonction numérique définie sur $[0,1]$ par :%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{cccc}
f_{r}(x) &amp; = &amp; (1-x^{1/r})^{r} &amp; \text{si }x\in ]0,1[ \\ 
f_{r}(0) &amp; = &amp; 1 &amp;  \\ 
f_{r}(1) &amp; = &amp; 0 &amp; 
\end{array}%
\right. 
\end{equation*}

\item On appelle $(C_{r})$ la courbe représentative de $y=f_{r}(x)$ pour $%
x\in \lbrack 0,1]$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O,i,j)$
noté $\mathcal{R}$ (unité 10 cm).
\end{itemize}

\subsection*{Partie I}

\begin{enumerate}
\item \thinspace 

\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $f_{r}.$

\item Préciser l'étude de la concavité de $(C_{r})$ selon les valeurs de $r.$
\end{enumerate}

\item Montrer que la droite d'équation $y=x$ est axe de symétrie commun à
toutes les courbes $(C_{r}).$

\item Construire dans $\mathcal{R}$ les courbes $(C_{1/3}),$ $(C_{1/2}),$ $%
(C_{1}),$ $(C_{2})$ et $(C_{3})$ en précisant pour chaque courbe les coordonn%
ées du point d'intersection $I_{r}$ de $(C_{r})$ et de la droite d'équation $%
y=x.$
\end{enumerate}

\subsection*{Partie II}

Pour tout nombre réel $r$ \textit{strictement positif}, on pose :%
\begin{equation*}
F(r)=r\int\limits_{0}^{1}t^{r-1}(1-t)^{r}dt
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence de $F(r).$

\item Montrer que l'aire du domaine limité par $(C_{r})$ et les droites d'é%
quations $x=0$ et $x=1,$ a pour valeur $F(r).$

\item \thinspace 

\begin{enumerate}
\item Etablir les inégalités suivantes :%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{ccc}
\dfrac{1}{2^{r}}\leqslant F(r)\leqslant 1 &amp; \text{si} &amp; 0&lt;r\leqslant 1 \\ 
0&lt;F(r)\leqslant \dfrac{1}{2^{r}} &amp; \text{si} &amp; r\geqslant 1%
\end{array}%
\right. 
\end{equation*}

\item En déduire $\lim\limits_{r\rightarrow 0}F(r)$ et $\lim\limits_{r%
\rightarrow +\infty }F(r).$
\end{enumerate}

\item Soit $n$ un entier naturel non nul.

\begin{enumerate}
\item Calculer $F(n)$ à l'aide d'intégrations par parties.

\item En développant $(1-t)^{n}$ à l'aide de la formule du binôme, en dé%
duire la formule $n\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^{k}\dfrac{C_{n}^{k}}{n+k}=%
\dfrac{(n!)^{2}}{(2n)!}.$
\end{enumerate}

\item On considère l'équation $(4x-x^{2})\varphi ^{\prime }(x)-(x+2)\varphi
(x)=x$ où $\varphi $ est une fonction inconnue à déterminer, $\varphi
^{\prime }$ désignant sa dérivée.\newline
On recherche une solution particulière sous la forme $\varphi
_{0}(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}$ où les coefficients $a_{n}$
sont des nombres réels.\newline
On admettra que $\varphi _{0}(x)$ existe si $\left\vert x\right\vert $ reste
inférieur à un certain réel positif $R$ (qu'on ne cherchera pas à dé%
terminer) et que sa dérivée est $\varphi _{0}^{\prime
}(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }na_{n}x^{n-1},$ existant sous les mêmes
conditions.

\begin{enumerate}
\item Etablir une relation de récurrence entre $a_{n}$ et $a_{n-1}$ pour
tout $n$ entier naturel non nul.

\item En déduire que pour $n\geqslant 2,\quad a_{n}=F(n).$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}

\end{document}
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