%BECHATA Abdellah %www.mathematiques.fr.st \documentclass[a4paper,french,11pt]{article} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[a4paper]{geometry} \usepackage{hyperref} \usepackage{color} \usepackage{fancyhdr} \setcounter{MaxMatrixCols}{10} %TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL} %TCIDATA{Version=5.00.0.2552} %TCIDATA{} %TCIDATA{Created=Sunday, December 19, 2004 13:17:44} %TCIDATA{LastRevised=Sunday, December 19, 2004 15:23:33} %TCIDATA{} %TCIDATA{} %TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst} \geometry{margin={1cm,2cm}} \pagestyle{fancy} \cfoot{\thepage/\pageref{fin}} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \input{tcilatex} \begin{document} \begin{center} \textbf{ÉCOLE SUPÉRIEURE LIBRE DES SCIENCES COMMERCIALES APPLIQUÉES\vspace{% 0.7cm}} \textbf{MATHÉMATIQUES 2ème ÉPREUVE\bigskip } OPTION : SCIENTIFIQUE - ECONOMIQUE - TECHNOLOGIQUE (durée 2h)\vspace{0.7cm} \end{center} \section*{EXERCICE\ I} \subsection*{Partie I :} Soient $A,$ $a,$ $b$ des nombres réels strictement positifs $(b\neq a).$ On considère la famille de fonctions $f_{A,a,b}$ définies par :% \begin{equation*} f_{A,a,b}(t)=\dfrac{A(e^{-at}-e^{-bt})}{b-a} \end{equation*}% Etudier les variations de $f_{A,a,b}$ sur $\mathbb{R}_{+}$ et donner l'allure du graphe de $f_{A,a,b}.$ \subsection*{Partie II :} Une exploitation agricole utilise un certain type d'engrais. On a constaté que pour chaque quantité d'engrais consommée par le terrain, 1 \% de cette quantité est transmise sous forme de nitrates à l'eau de la nappe phré% atique. Ces nitrates sont ensuite dissous dans la nappe.\newline On désigne par $q_{0},$ 1 \% de la quantité totale $Q_{0}$ d'engrais ré% pandue à l'instant $t_{0}=0$ dans le terrain.\newline On note $q_{T}(t),$ 1 \% de la quantité totale $Q_{T}(t)$ d'engrais présente à l'instant $t$ dans le terrain.\newline On note enfin $q_{E}(t)$, la quantité de nitrates présente à l'instant $t$ dans l'eau.\newline On suppose que les fonctions $q_{T}(t)$ et $q_{E}(t)$ vérifient à tout instant $t$ (tel que $q_{T}(t)\geqslant 0$ et $q_{E}(t)\geqslant 0)$ les é% quations :% \begin{equation*} \left. \begin{array}{ccl} (1) & q_{T}^{\prime }(t)= & -0,7q_{T}(t) \\ (2) & q_{E}^{\prime }(t)= & 0,7q_{T}(t)-0,4q_{E}(t)% \end{array}% \right. \end{equation*}% où $q_{T}^{\prime }$ et $q_{E}^{\prime }$ sont les dérivées des fonctions $% q_{T}$ et $q_{E}.$ \begin{enumerate} \item Comment interpréter ces équations ? \item \thinspace \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $q_{T}(t)=q_{0}e^{-0,7t}$ vérifie l'équation (1). \item Montrer qu'une fonction de la famille décrite dans la partie I (avec $% a=0,7,$ $b=0,4$ et $A$ une constante à déterminer) vérifie l'équation (2). \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Partie III :} On souhaite contrôler la quantité de nitrates présente dans la nappe phré% atique à tout instant $t$ de façon à ce que $q_{E}(t)$ ait une valeur toujours inférieure à 2,3. \begin{enumerate} \item Déterminer la quantité maximale $Q_{0}$ d'engrais qu'on peut répandre au temps $t_{0}=0$ de manière à ce que l'inégalité $q_{E}(t)\leqslant 2,3$ soit toujours vérifiée. \item On suppose que l'épandage est très rapide par rapport à la dynamique du système.\newline Dès qu'une quantité de nitrates dans l'eau est redescendue à la valeur 1,4 (à un temps $\tau ),$ l'exploitant est autorisé à effectuer un deuxième é% pandage d'une quantité $Q_{0,\tau }$ d'engrais. \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement l'instant $\tau .$ \item Calculer $Q_{0,\tau }$ de manière à ne pas dépasser le seuil de toxicit% é 2,3. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE\ II} On considère l'ensemble $S$ des matrices de la forme $P=% \begin{pmatrix} a & b \\ 1-a & 1-b% \end{pmatrix}% $ avec $(a,b)\in ]0,1[\times ]0,1[.$ \subsection*{Partie I :} \begin{enumerate} \item Montrer que le produit de deux éléments de $S$ est élément de $S.$ \item On pose $d=a-b;$ montrer que : $\forall n\geqslant 1,\quad P^{n}=% \dfrac{1}{1-d}\left[ (1-d^{n})P-d(1-d^{n-1})I\right] $ où $I=% \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1% \end{pmatrix}% $ \item On pose pour $n\geqslant 1,\quad P^{n}=% \begin{pmatrix} u_{n} & v_{n} \\ w_{n} & x_{n}% \end{pmatrix}% .$\newline On dit que la suite de matrices $(P^{n})$ converge vers une limite $L=% \begin{pmatrix} u & v \\ w & x% \end{pmatrix}% $ si et seulement si les quatre suites $(u_{n}),$ $(v_{n}),$ $(w_{n})$ et $% (x_{n})$ convergent et ont pour limites respectives $u,v,w,x$ lorsque $n$ tend vers l'infini.\newline Montrer que la suite $(P^{n})$ converge vers une matrice $L$ que l'on explicitera. $L$ appartient-elle à $S$ ? \item Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice $P$ de $S$ ne soit pas inversible. Montrer qu'elle vérifie alors :% \begin{equation*} \forall n\geqslant 1,\quad P^{n}=P \end{equation*} \end{enumerate} \subsection*{Partie II :} Dans un plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},% \overrightarrow{j}),$ on considère les cercles $(C_{1})$ et $(C_{2})$ tels que $(C_{1})$ ait pour centre $O(0,0)$ et pour rayon $R_{1}=1,$ et $(C_{2})$ ait pour centre $O^{\prime }(-1,0)$ et pour rayon $R_{2}=2.$\newline On appelle $A$ le point de coordonnées $(1,0).$\newline Un point mobile $M$ a pour trajectoire $(C_{1})\cup (C_{2})$ : son mouvement s'effectue à vitesse constante, dans le sens des aiguilles d'une montre. Il parcourt un cercle en $2\pi $ unités de temps.\newline On fait les hypothèses suivantes : \begin{itemize} \item Le mobile peut partir de $A$ aussi bien sur $(C_{1})$ que sur $(C_{2})$ avec des probabilités égales (Il a ainsi la probabilité $\dfrac{1}{2}$ de parcourir $(C_{1})$ pendant l'intervalle de temps $[0,2\pi ])$ \item A chacun de ses passages en $A,$ le mobile peut aussi rester sur la mê% me courbe que changer de courbe : la probabilité de rester sur $(C_{1})$ s'il vient de $(C_{1})$ est $(0