<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st


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\begin{document}


\begin{center}
\textbf{ÉCOLE SUPÉRIEURE LIBRE DES SCIENCES COMMERCIALES APPLIQUÉES\vspace{%
0.7cm}}

\textbf{MATHÉMATIQUES 2ème ÉPREUVE\bigskip }

OPTION : GENERALE - ECONOMIQUE - TECHNOLOGIQUE\vspace{0.7cm}
\end{center}

\section*{EXERCICE\ I :}

\subsection*{I]}

On considère pour tout $n$ entier naturel non nul, la fonction $f_{n}$ dé%
finie sur $]0,+\infty \lbrack $ par : 
\begin{equation*}
f_{n}(t)=\dfrac{\ln (t)}{t^{n}}
\end{equation*}%
(où $\ln $ désigne le logarithme népérien)\newline
Pour tout réel $x$ supérieur ou égal à $1,$ on pose : $I_{n}(X)=\int%
\limits_{1}^{X}f_{n}(t)dt.$

\begin{enumerate}
\item \thinspace

\begin{enumerate}
\item Calculer $I_{1}(X)$ et $I_{n}(X)$ pour $n\geqslant 2.$

\item En déduire la valeur de l'intégrale $J(X)=\int%
\limits_{2}^{X}f_{2}(t)dt $ et sa limite quand $X$ tend vers $+\infty .$
\end{enumerate}

\item Démontrer que pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$ :%
\begin{equation*}
f_{2}(k+1)\leqslant \int\limits_{k}^{k+1}f_{2}(t)dt\leqslant f_{2}(k)
\end{equation*}
\end{enumerate}

\subsection*{II]}

On considère la suite $(S_{n})$ de terme général : $S_{n}=\sum%
\limits_{k=2}^{n}\dfrac{\ln (k)}{k^{2}}$

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $n\geqslant 2$ : 
\begin{equation*}
J_{n}+\dfrac{\ln (n)}{n^{2}}\leqslant S_{n}\leqslant J_{n}+\dfrac{\ln (2)}{4}%
.
\end{equation*}

\item Démontrer que la suite $(S_{n})$ est convergente et déterminer un
encadrement de sa limite $l=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }S_{n}.$
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE\ II :}

Sur $(\Omega ,\mathcal{B},P)$ un espace probabilisé, on considère la suite $%
(Y,X_{1},X_{2},...,X_{n},...)$ de variables aléatoires mutuellement indé%
pendantes à valeurs respectivement dans les espaces $\mathbb{N}$ muni de $%
\mathcal{P}(\mathbb{N})$ pour $Y$, et $\{0,1\}$ muni de $\mathcal{P}%
(\{0,1\}) $ pour $X_{k}$ $(k=1,2,..,n,...)$\newline
On suppose que $\Omega $ est un ensemble de séries de fabrication $\omega .$%
\newline
$Y(\omega )$ représente le nombre de pièces défectueuses de la série $\omega 
$\newline
$X_{k}(\omega )$ représente la nature du défaut de la $k^{i\grave{e}me}$ piè%
ce de la série $\omega $ avec $X_{k}(\omega )=1$ si le défaut provient d'une
erreur machine et $X_{k}(\omega )=0$ si le défaut provient d'une erreur
humaine.\newline
(On suppose qu'il n'existe pas d'autre type d'erreur).\newline
En outre :\newline
$Y$ est une variable aléatoire de loi : $P(Y=i)=p^{i}(1-p)$ pour $i=0,1,..$
et $p$ est un réel fixé $(0&lt;p&lt;1);$\newline
$X_{k}$ est une variable de Bernouilli de paramètre $\dfrac{1}{2}=P(X_{k}=1)$
pour $k=1,2,..,n,...$

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour $n\geqslant 1,$ la probabilité qu'une série comporte
exactement $n$ pièces défectueuses provenant d'une erreur machine est :%
\begin{equation*}
\dfrac{2p^{n}(1-p)}{(2-p)^{n+1}}
\end{equation*}%
On admettra que pour $\left\vert x\right\vert &lt;1$ et pour tout entier $n,$
la série de terme général $\dfrac{(n+k)!}{n!k!}x^{k}$ converge et a pour
somme : 
\begin{equation*}
\dfrac{1}{(1-x)^{n+1}}.
\end{equation*}

\item Sachant qu'une série de fabrication comporte au moins une pièce dé%
fectueuse provenant d'une erreur machine, calculer la probabilité qu'elle en
comporte exactement $N$ $(N\geqslant 1).$
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE\ III :}

On dispose de deux dés A et B. Le dé A a quatre faces rouges et deux faces
blanches. Le dé a deux faces rouges et quatre faces blanches. On lance une pi%
èce de monnaie :

\begin{itemize}
\item Si l'on obtient " pile ", on décide de jouer uniquement avec le dé A

\item Si l'on obtient " face ", on décide de jouer uniquement avec le dé B
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité d'avoir " rouge ".

\item Calculer la probabilité d'obtenir " rouge " au troisième coup sachant
que l'on a déjà obtenu cette couleur aux deux premiers coups.

\item Déterminer la probabilité $p_{n}$ d'avoir utilisé le dé A sachant que
l'on a obtenu " rouge " au $n$ premiers coups $(n\in \mathbb{N}^{\times })$
\end{enumerate}

\label{fin}

\end{document}
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