<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st


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\begin{document}


\begin{center}
\textbf{ÉCOLE SUPÉRIEURE LIBRE DES SCIENCES COMMERCIALES APPLIQUÉES\vspace{%
0.7cm}}

\textbf{MATHÉMATIQUES 2ème ÉPREUVE\bigskip }

OPTION : GENERALE - ECONOMIQUE - TECHNOLOGIQUE\vspace{0.7cm}
\end{center}

\section*{EXERCICE\ 1}

On rappelle que $\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})$ désigne l'espace vectoriel
des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels.\newline
Soit $A$ la matrice carrée d'ordre 2 : $A=%
\begin{pmatrix}
1 &amp; -1 \\ 
-1 &amp; 1%
\end{pmatrix}%
.$\newline
A toute matrice $X\in \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R}),$ on associe la matrice $Y
$ définie par :%
\begin{equation*}
Y=f(X)=AX+XA
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R}).$

\item Déterminer le noyau de $f,$ c'est-à-dire l'ensemble des matrices :%
\begin{equation*}
X=%
\begin{pmatrix}
a &amp; b \\ 
c &amp; d%
\end{pmatrix}%
\text{ vérifiant }f(X)=%
\begin{pmatrix}
0 &amp; 0 \\ 
0 &amp; 0%
\end{pmatrix}%
.
\end{equation*}

\item \thinspace 

\begin{enumerate}
\item Soit $M=%
\begin{pmatrix}
a &amp; b \\ 
c &amp; d%
\end{pmatrix}%
$ un élément de $\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R}).$\newline
Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $a,b,c,d$ pour que 
$M$ soit un élément de l'image de $f,$ c'est-à-dire pour qu'il existe $X\in 
\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})$ vérifiant :%
\begin{equation*}
f(X)=M
\end{equation*}

\item Déterminer les antécédents par $f$ de la matrice $M=%
\begin{pmatrix}
1 &amp; -1 \\ 
0 &amp; 0%
\end{pmatrix}%
$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE\ 2}

On considère la fonction $f,$ définie pour tout réel $x\neq 1$ par :%
\begin{equation*}
f(x)=\dfrac{e^{x}}{1-x}
\end{equation*}%
$f^{(n)}$ désigne la dérivée $n^{i\grave{e}me}$ de $f;$ par convention $%
f^{(0)}=f.$

\begin{enumerate}
\item \thinspace 

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,$ on a :%
\begin{equation*}
f^{(n)}(x)=\dfrac{e^{x}P_{n}(x)}{(1-x)^{n+1}}\qquad (x\neq 1),
\end{equation*}%
où $P_{n}$ est un polynôme de degré $n$ dont on précisera le terme de plus
haut degré.\newline
Exprimer $P_{n+1}(x)$ en fonction de $P_{n}(x)$ et $P_{n}^{\prime }(x).$

\item Calculer $P_{n}(1)$, pour $n$ entier naturel.

\item Donner les expressions de $P_{0},$ $P_{1}$ et $P_{2}.$
\end{enumerate}

\item \qquad 

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ différent de $1,$ on a :%
\begin{equation*}
(x-1)f^{\prime }(x)-(x-2)f(x)=0
\end{equation*}

\item En utilisant la formule de Leibniz, démontrer que, pour tout entier
naturel non nul $n$ et tout réel $x,$ on a :%
\begin{equation*}
P_{n+1}(x)=(n+2-x)P_{n}(x)+n(x-1)P_{n-1}(x).
\end{equation*}

\item En déduire, pour tout entier naturel non nul $n,$ la relation :%
\begin{equation*}
P_{n}^{\prime }=-nP_{n-1}
\end{equation*}
\end{enumerate}

\item \thinspace 

\begin{enumerate}
\item Soient $n$ et $k$ deux entiers tels que $0\leqslant k\leqslant n.$%
\newline
Trouver une relation entre $P_{n}^{(k)}$ et $P_{n-k}.$\newline
En déduire que $P_{n}^{(k)}(1)=(-1)^{k}n!.$

\item Appliquer la formule de Taylor à $P_{n}$ entre $1$ et $x.$\newline
En déduire : $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{P_{n}(x)}{n!}%
=e^{1-x}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE\ 3}

On joue à pile ou face avec une pièce non équilibrée. On suppose qu'à chaque
lancer, la probabilité d'apparition de pile (P) est $p,$ celle de face (F) é%
tant $q$ avec $p+q=1.$ Les lancers sont supposés indépendants.\newline
On note $X$ le rang où apparait pour la première fois deux résultats " pile
" consécutifs. Ainsi, dans la série suivante de 10 lancers :%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{lllllllllll}
1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 4 &amp; 5 &amp; 6 &amp; 7 &amp; 8 &amp; 9 &amp; 10 &amp; ... \\ 
F &amp; F &amp; F &amp; P &amp; F &amp; P &amp; F &amp; P &amp; P &amp; F &amp; ...%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
se trouve réalisé l'évènement $(X=9).$\newline
Pour $n\in \mathbb{N}^{\times },$ on pose $a_{n}=P(X=n).$

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $p$ et $q$ : $a_{1},$ $a_{2},$ $a_{3}$ et $%
a_{4}.$

\item Montrer, en distinguant suivant le résultat du premier lancer, que,
pour $n\geqslant 3,$ on a :%
\begin{equation*}
a_{n}=qa_{n-1}+pqa_{n-2}.
\end{equation*}

\item On suppose à présent : $p=\dfrac{2}{3}$, $q=\dfrac{1}{3}.$

\begin{enumerate}
\item Etablir que, pour $n\geqslant 1,$ $a_{n}$ a pour expression :%
\begin{equation*}
\dfrac{4}{9}\left[ \left( \dfrac{2}{3}\right) ^{n}-\left( -\dfrac{1}{3}%
\right) ^{n}\right] 
\end{equation*}

\item Montrer que : $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }a_{n}=1.$

\item Calculer l'espérance mathématique et la variance de la variable alé%
atoire $X.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}

\end{document}
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