%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\Large ESLSCA 1995 Option économique\vspace{2cm}}
\end{center}
\section*{EXERCICE\ 1}
Pour tout $a$ réel non nul, on considère la fonction définie pour $x>0$ par
\begin{equation*}
f_{a}(x)=\exp ((1-x^{a}).\ln (x))=x^{1-x^{a}}
\end{equation*}%
et on note $(C_{a})$ sa représentation graphique dans le plan rapporté à un
repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item $f_{a}$ est-elle prolongeable par continuité en $0$ ? le prolongement é%
ventuel est-il dérivable en $0$ ? (On distinguera selon le signe de $a$.)
\item Etudier, selon les valeurs de a, les éventuelles branches infinies de $%
(C_{a})$.
\item Déterminer, en discutant selon les valeurs de $a$, les variation de $%
f_{a}$. (On écrira $f_{a}^{\prime }(x)$ sous la forme $x^{a--1}.g_{a}(x)$
pour une fonction $g_{a}$ que l'on déterminera, et on pourra étudier les
variations de $g_{a}$ pour obtenir le signe de cette fonction.)
\item Soit $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls tels que $a-1$ et pour tout entier naturel n, on pose : $%
I_{n}(x)=\int\limits_{0}^{x}\dfrac{(x-t)^{n}}{(1+t)^{n+1}}dt$.
\begin{enumerate}
\item Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que, pour tout entier
n et tout réel $x>-1$, on a :
\begin{equation*}
I_{n+1}(x)=-I_{n}(x)+\dfrac{x^{n+1}}{n+1}.
\end{equation*}
\item Calculer $I_{0}(x)$, en déduire $I_{1}(x)$, puis $I_{2}(x)$.
\end{enumerate}
\item Prouver par récurrence que, pour tout réel $x>-1$,et pour tout entier $%
n>0$ :%
\begin{equation*}
\ln (1+x)=x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}+\ldots
+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{n}}{n}+\int\limits_{0}^{x}\dfrac{(-1)^{n}(x-t)^{n}}{%
(1+t)^{n+1}}dt.
\end{equation*}
\item Pour $x$ compris entre $0$ et $1$, on considère la suite $u_{n}(x)$ dé%
finie par :
\begin{equation*}
u_{n}(x)=\int\limits_{0}^{x}\dfrac{(-1)^{n}(x-t)^{n}}{(1+t)^{n+1}}dt.
\end{equation*}%
Montrer que pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}$ : $\left\vert
u_{n}(x)\right\vert \leqslant \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, en déduire la limite de
la suite ($u_{n}(x)$).
\item Pour x compris entre $0$ et $1$, on considère la suite ($v_{n}(x)$) dé%
finie pour $n>0$ par :
\begin{equation*}
v_{n}(x)=x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}+\ldots
+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{n}}{n}.
\end{equation*}%
Montrer que la suite ($v_{n}(x)$) converge et déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE\ 4}
(les données de cet exercice sont évidemment fictives)\newline
Pour fabriquer des piles, une usine dispose de deux machines, la machine A ré%
alisant les 3/4 de la production et la machine B le reste. La probabilité
qu'une pile sortant de la machine A (respectivement B) soit défectueuse est
de 0,1 (respectivement 0,2), les défauts n'étant dus qu'au hasard. Chaque
machine conditionne les piles qu'elle fabrique par boîtes de n piles (où n
est un entier tel que $n>2$). Toutes les boîtes sont ensuite entreposées
ensemble. On prend au hasard une boîte dans l'entrepôt. Soit $X$ la variable
aléatoire égale au nombre de piles défectueuses de cette boîte.
\begin{enumerate}
\item Lorsque $n=2$, déterminer la loi de $X$. Calculer l'espérance de X et
tracer la courbe de la fonction de répartition de $X$.
\item Lorsque $n=3$, déterminer la loi de $X$ et préciser son espérance.
\item La boîte choisie ne contenant aucune pile défectueuse, déterminer,
dans le cas général, la probabilité qu'elle ait été fabriquée par la machine
A.
\item Dans cette question, $n=2$. On suppose que le poids en grammes d'une
pile quelconque est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espé%
rance 10 et d'écart type 1, les poids des piles étant indépendants d'une
pile à l'autre. Avant l'expédition, on pèse chaque boîte et toute boîte dont
le poids des piles dépasse 21 grammes est rejetée. On prend une boîte au
hasard, quelle est la probabilité qu'elle soit rejetée ?
\end{enumerate}
\noindent N.B. $\Phi $désignant la fonction de répartition d'une variable alé%
atoire suivant la loi normale centrée réduite, on donne les résultats
suivants, extraits des tables usuelles :%
\begin{equation*}
\Phi (0,5)\approx 0,69\text{\ \ ;\ \ }\Phi \text{(0,7)\ }\approx \text{\
0,76\ \ ;\ \ }\Phi \text{(1)\ }\approx \text{\ 0,84\ \ \ (}\approx \text{%
signifiant : peu différent de}).\text{\ \ }
\end{equation*}
\label{fin}
\end{document}