%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{ÉCOLE SUPÉRIEURE LIBRE DES SCIENCES COMMERCIALES APPLIQUÉES\vspace{%
0.7cm}}
\textbf{MATHÉMATIQUES 1ère ÉPREUVE\bigskip }
OPTIONS : ECONOMIQUE\vspace{0.7cm}
\end{center}
\section*{EXERCICE 1}
On note $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels et $\mathbb{N}$ celui des
nombres entiers naturels. On considère la fonction $f\ :\mathbb{R}%
\rightarrow \mathbb{R}$ définie par la formule suivante :
\begin{equation*}
f(x)=\dfrac{1}{5}\left( \exp (x)+\exp (-x)\right) .
\end{equation*}%
On rappelle que $2,71\leqslant e\leqslant 2,72$
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $f$, donner sa représentation graphique et pr%
éciser la nature des branches infinies de celle-ci.
\item Résoudre l'équation : $f(x)=\dfrac{1}{2}$
\item Résoudre l'inéquation : $f(x)\leqslant \dfrac{1}{2}$
\item Calculer l'aire $A$ du domaine $\Omega =\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\quad
/\quad f(x)\leqslant y\leqslant \dfrac{1}{2}\}$
\item On appelle point fixe de $f$ tout nombre $\alpha $ tel que $f(\alpha
)=\alpha $ . On se propose d'étudier les points fixes de $f$ par le biais
d'une fonction auxiliaire $g$ définie par $g(x)=f(x)-x$.
\begin{enumerate}
\item Donner le tableau de variation de la dérivée $g^{\prime }$ de $g$ aprè%
s étude du signe de la dérivée seconde $g^{\prime \prime }$.
\item En déduire qu'il existe un unique $t\in $ $\mathbb{R}$ tel que $%
g^{\prime }(t)=0$, sans essayer de le calculer.
\item Encadrer $t$ entre deux entiers consécutifs.
\item Calculer $t$.
\item Donner le tableau de signe de $g^{\prime }$ puis dresser le tableau
des variations de $g$. Montrer que $g$ admet un minimum strictement négatif.
\item En déduire que $f$ admet exactement deux points fixes.
\end{enumerate}
\item On se restreindra désormais à l'intervalle $I=[0;1]$. Montrer que $f$
n'admet qu'un seul point fixe $\alpha \in I$.
\item Montrer que l'intervalle $I$ est stable par $f$.
\item On définit une suite par la donnée de $u_{0}\in I$ et la relation de ré%
currence $u_{n+1}=f(u_{n})$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. \newline
Démontrer que les $u_{n}$ appartiennent tous à $I$.
\item Démontrer que : $\forall x\in I,\quad \left\vert f^{\prime
}(x)\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2}.$
\item En déduire que $\forall n\in \mathbb{N},\quad \left\vert
u_{n+1}-\alpha \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2}\left\vert u_{n}-\alpha
\right\vert $. Achever l'étude de $(u_{n})$.
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 2}
Soit les matrices $I=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1%
\end{pmatrix}%
,\quad J=%
\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
2 & 2%
\end{pmatrix}%
$ et $A=%
\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
2 & 3%
\end{pmatrix}%
$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $J^{k}$ pour tout entier naturel $k$. On n'oubliera pas le
cas où $k=0$.
\item En déduire les puissances n-ième de $A$, en remarquant que $A=I+J$.
Expliciter $A^{n}$ et vérifier la validité du résultat pour $n=0$; $n=1$ et $%
n=2$.
\item On dispose de deux boîtes U et V : \newline
U contient 3 boules blanches et 2 boules noires\newline
V contient 2 boules blanches et 3 boules noires\medskip \newline
On tire des boules une à une, chaque boule étant remise immédiatement dans
la boîte d'où elle provient avant le tirage suivant. La première boule est
tirée de U. Si elle est blanche, la seconde boule est tirée de U; si la premi%
ère boule tirée est noire, la seconde boule est tirée de V. A chaque étape
si le $n$-ième tirage donne une boule blanche alors le $(n+1)$-ième tirage
s'effectuera dans U, alors que si le $n$-ième tirage donne une boule noire
alors le $(n+1)$-ième tirage s'effectuera dans V. On définit les événements
suivants, pour tout entier $n\geqslant 1$ :\newline
$B_{n}$ : «le $n$-ième tirage donne une boule blanche »\newline
$N_{n}$ : « le $n$-ième tirage donne une boule noire »\newline
On pose $p_{n}=P(B_{n})$, $q_{n}=P(N_{n})$ et $X_{n}=%
\begin{pmatrix}
p_{n} \\
q_{n}%
\end{pmatrix}%
.$
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de $p_{1}$ et $q_{1}$.
\item Calculer, par une méthode clairement justifiée, $p_{2}$ et $q_{2}$.
\item Pour tout $n$, exprimer $p_{n+1}$ et $q_{n+1}$ en fonction de $p_{n}$
et $q_{n}$.
\item En déduire un algorithme de calcul des $p_{n}$ et des $q_{n}$. Le
traduire en Turbo-Pascal.
\item Donner $X_{n+1}$ en fonction de $X_{n}$.
\item En déduire le calcul de $p_{n}$ et $q_{n}$.
\end{enumerate}
\item On considère encore la suite de tirage de la question 3. On définit la
variable aléatoire $T$ égale au temps d'attente de la première boule blanche
: pour tout $n\geqslant 1$, l'événement ($T=n$ signifie que la première
boule blanche est apparue au $n$-ième tirage.
\begin{enumerate}
\item Donner la distribution de probabilité de $T$.
\item Vérifier que la somme des probabilités des événements $(T=n)$ vaut
bien 1.
\item Calculer $E(T)$ et $V(T)$. On citera explicitement, aux questions b)
et c) les résultats de cours utilisés ainsi que leur condition de validité.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 3}
On rappelle que $\mathbb{R}_{2}[X],$ ensemble des polynômes à coefficients ré%
els de degré inférieur ou égal à $2$, est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel
de dimension $3$. On appellera ici $\mathcal{B}$ sa base canonique $%
(1,X,X^{2})$. Un polynôme sera noté indifféremment $Q(X)$ ou $Q$; à chaque $%
Q(X)\in \mathbb{R}_{2}[X]$, on associe la polynôme suivant, noté aussi $\Phi
(Q(X))$ ou $\Phi (Q)(X)$ :
\begin{equation*}
\Phi (Q)=(2X+1)Q(X)-(X^{2}-1)Q^{\prime }(X)
\end{equation*}%
où $Q^{\prime }$ est le polynôme dérivé de $Q$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que cela définit bien un endomorphisme $\Phi $ de l'espace
vectoriel $\mathbb{R}_{2}[X]$.
\item Déterminer son noyau $\ker (\Phi )$.
\item En déduire que $\Phi $ est bijectif.
\item Donner la matrice $A$ de $\Phi $ dans la base $\mathcal{B}$.
\item Déterminer le spectre $Sp(A)$ de la matrice $A$. En déduire immé%
diatement que $A$ est diagonalisable.
\item Déterminer le sous-espace propre $E_{a}$ de $A$ pour tout $a\in Sp(A)$
\item On range les valeurs propres par ordre strictement croissant. Trouver
une matrice $P$ inversible telle que la matrice $A^{\prime }=P^{-1}AP$ soit
diagonale :%
\begin{equation*}
A^{\prime }=%
\begin{pmatrix}
u & 0 & 0 \\
0 & v & 0 \\
0 & 0 & w%
\end{pmatrix}%
.
\end{equation*}%
On respectera la contrainte suivante : la première ligne de $P$ doit être é%
gale à $(1,1,1)$.
\item Déduire de la question 7. le calcul de $A^{n}$ pour tout entier
naturel $n$.
\item On rappelle que $\Phi ^{0}=\func{Id},\quad \Phi ^{1}=\Phi ,\quad \Phi
^{2}=\Phi \circ \Phi $, etc.. Déduire de la question 7. la calcul de $\Phi $$%
^{n}$ pour tout $n$.\newline
Autrement dit, étant donné un polynôme quelconque $Q(X)=aX^{2}+bX+c$,
expliciter le polynôme $\Phi ^{n}(Q(X))$ en fonction de $n,a,b$ et $c$.
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 4}
Soit la fonction à deux variables $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ dé%
finie par la formule $f(x,y)=2x^{2}y^{4}+3x^{3}y^{3}+x^{2}y^{3}$. Etudier
l'existence d'extrema locaux de $f$.
\label{fin}
\end{document}