%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\noindent {\Huge ESSEC\vspace{-0.25cm}}
\noindent \underline{\hspace{2.6cm}}\smallskip
\noindent {\large M B A\vspace{2cm}}
\begin{center}
CONCOURS D'ADMISSION\vspace{0.4in}
\textbf{Option générale\vspace{1cm}}
{\Large MATHEMATIQUES I\vspace{0.7cm}}
\textbf{Année 1978\bigskip }
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent {\small La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent {\small Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la
mesure du possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent {\small Ils ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation
de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule
l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent {\small Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui
semble une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à
prendre.}\vspace{1.5cm}
\end{quotation}
\section*{PARTIE\ I}
\begin{enumerate}
\item $V(x)$ étant un polynôme à coefficients complexes, que dire du polynô%
me
\begin{equation*}
W(x)={\dfrac{1}{3}}\left( V(x)+V(jx)+V(j^{2}x)\right) \quad \text{où}\quad
j=e^{\dfrac{2i\pi }{3}}\text{ ?}
\end{equation*}
\item Au polynôme $Q(x)=2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ on associe le polynôme $T(x)$
:
\begin{equation*}
T(x)=Q(x).Q(jx).Q(j^{2}x)
\end{equation*}%
Montrer que $T$ est un polynôme en $x^{3}$ ; on pose $T(x)=H(x^{3})=H(X)$. Pr%
éciser les racines de $H(x)$. Expliciter H(X). Généraliser.
\end{enumerate}
\section*{PARTIE\ II}
Dans ce paragraphe seules seront prises en considération les réponses
explicitées à l'aide d'un dessin ; sauf mention du contraire $a$ et $b$ sont
deux nombres respectivement complexe et réel.
\begin{enumerate}
\item Pour $b$ donné strictement positif trouver le lieu de $a$ défini par :
\begin{equation*}
\left\vert a+2b\right\vert \leqslant 1\quad \text{et}\quad \left\vert
a-b\right\vert \leqslant 1
\end{equation*}%
Résumer clairement les cas particuliers suivants :
\begin{enumerate}
\item $\left\vert a+2b\right\vert =1$\ et $\left\vert a-b\right\vert
\leqslant 1$
\item $\left\vert a+2b\right\vert \leqslant 1$ et $\left\vert a-b\right\vert
=1$
\item $\left\vert a+2b\right\vert <1$ et $\left\vert a-b\right\vert <1$
\end{enumerate}
\item Quel est quand $b$ réel varie le lieu de $a$ défini par : $\left\vert
a+2b\right\vert =1$ et $\left\vert a-b\right\vert =1$ ; (module de $a-b=1$ )
.
\item $b$ étant \underline{maintenant} un nombre \underline{complexe} donné
trouver le lieu de $a$ défini par $\left\vert a+2b\right\vert \leqslant 1$
et $\left\vert a-b\right\vert \leqslant 1$. Quelle région du plan décrit
alors b pour que le problème soit possible ?
\end{enumerate}
\noindent Dans la suite de ce problème, l'espace vectoriel $\mathbb{C}^{3}$
est repéré par sa base canonique $(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3})$ où $%
\vec{e}_{1}=(1,0,0),\;\vec{e}_{2}=(0,1,0),\;e_{3}=(0,0,1)$.
Tout endomorphisme de $\mathbb{C}^{3}$ peut ainsi être caractérisé par la
matrice qui le repère dans la base canonique ; les matrices seront donc des
matrices carrées, d'ordre 3, à éléments réels ou complexes. Un nombre
complexe $a$ représentera indifféremment la matrice scalaire $%
\begin{pmatrix}a&0&0\\ 0&a&0\\ 0&0&a\end{pmatrix}$ ou l'endomorphisme qu'elle
repère ; donc $1$ désigne indifféremment l'application identique
ou la matrice $\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}$.
\section*{PARTIE\ III}
Nous disons qu'une suite $(M_{n})$ de matrices tend vers une matrice limite $%
L$ et nous écrivons $M_{n}\rightarrow L$ si et seulement si le terme général
de position $p,q$ de la matrice tend vers le terme de même position de la
matrice $L$ quand $n$ tend vers l'infini. Les grandes lettres de ce
paragraphe représentent des matrices.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $M_{n}\rightarrow L$ et $M_{n}^{\prime }\rightarrow
L^{\prime }$ alors $M_{n}+M_{n}^{\prime }\rightarrow L+L^{\prime }$.
\item Montrer que si $M_{n}\rightarrow L$ et $M_{n}^{\prime }\rightarrow
L^{\prime }$ alors $M_{n}.M_{n}^{\prime }\rightarrow L.L^{\prime }$.
\item Montrer que si $M_{n}\rightarrow 0$ alors $1+M_{n}$ a un déterminant
qui tend vers $1$.
\item Montrer que si $A^{n}\rightarrow 0$ alors la matrice $1-A$ est
inversible.
\item Montrer que si $(x_{n})$ est une suite de complexes telle que $%
x_{n}\rightarrow x_{0}$ alors $x_{n}.A\rightarrow x_{0}.A$
\end{enumerate}
\section*{PARTIE\ IV}
Soient deux endomorphismes $u_{1}$ et $u_{2}$ de $\mathbb{C}^{3}$ tels que
\begin{equation*}
(\pi )\qquad u_{1}+u_{2}=1,\quad u_{1}\circ u_{2}=0,\quad u_{1}\not=0,\quad
\func{rg}u_{1}\leqslant \func{rg}u_{2}
\end{equation*}
où $\func{rg}u_{1}$ par exemple désigne le rang de $u_{1}$ c'est-à-dire la
dimension de $\func{Im}u_{1}=u_{1}(\mathbb{C}^{3})$.
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item A-t-on $u_{2}=0$ ? Montrer que $u_{2}$ n'est pas bijectif.
\item Montrer que $u_{1}$ et $u_{2}$ sont linéairement indépendants.
\item Montrer que $\func{Im}u_{1}$ et $\func{Im}u_{2}$ sont supplémentaires.
\item Préciser les rangs de $u_{1}$ et $u_{2}$.
\end{enumerate}
\item Soient deux complexes $\alpha _{1}$ et $\alpha _{2}$ non simultanément
nuls. On considère l'endomorphisme $u$ défini par $u=\alpha _{1}u_{1}+\alpha
_{2}u_{2}$ ; $u_{1}$ et $u_{2}$ vérifiant toujours les conditions $(\pi )$.
\begin{enumerate}
\item Expliciter $(u-\alpha _{1})\circ u_{1}$,\quad $(u-\alpha _{2})\circ
u_{2}$.
\item A-t-on $(u-\alpha _{1})\circ (u-\alpha _{2})=0$ ?
\end{enumerate}
\item $v$ étant un endomorphisme \underline{non} scalaire de $\mathbb{C}^{3}$%
, on aimerait résoudre en $\alpha _{1},\alpha _{2},u_{1}$ et $u_{2}$ l'é%
quation définie par $v=\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}$ où $\alpha _{1}$
et $\alpha _{2}$ sont deux complexes et $u_{1}$ et $u_{2}$ deux
endomorphismes vérifiant $(\pi )$.
\begin{enumerate}
\item Caractériser $v$ pour que le problème soit possible et montrer
qu'alors il n'admet qu'une solution.
\item \underline{Application}. On désigne par $A_{1}$ et $A_{2}$ les
matrices associées à $u_{1}$ et $u_{2}$. Résoudre le problème posé dans la
question 3 pour $v$ donné par sa matrice associée dans les quatre cas
suivants :
\begin{equation*}
F=\begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1\end{pmatrix},\quad G=\begin{pmatrix}0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0\end{pmatrix}%
,\quad A=\begin{pmatrix}a&b&b\\ b&a&b\\ b&b&a\end{pmatrix},\quad K=\begin{pmatrix}0&0&1\\
1&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{PARTIE\ V}
Reprenons $A=\begin{pmatrix}a&b&b\\ b&a&b\\ b&b&a \end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Comment choisir $a$ et $b$ pour que $A^{n}\rightarrow 0$ ?
\item Montrer qu'alors la suite de matrices définie pour $n\geqslant 1$ par
\begin{equation*}
B_{n}=1+A+A^{2}+\cdots +A^{n}
\end{equation*}%
converge ; calculer sa limite.
\item Résoudre en $A$ l'équation $A^{3}=1$.
\item Peut-on avoir $A^{3}=A_{1}$ ?
\end{enumerate}
\section*{PARTIE\ VI}
Toujours pour $K=\begin{pmatrix}0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}$, calculer $%
(jK-1)(j^{2}K-1)$ et $(K-1)(K-j)(K-j^{2})$.\newline
On considère les matrices $P(K)=\dfrac{1}{3}(1+K+K^{2}),\;P_{2}=P(j^{2}K),%
\;P_{3}=P(jK)$ et $P_{2}+P_{3}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que deux de ces matrices ont déjà été identifiées anté%
rieurement.
\item Préciser les produits deux à deux des trois matrices $A_{1},\;P_{2}$
et $P_{3}$.
\begin{enumerate}
\item Soit $X$ l'espace vectoriel engendré par $A_{1}$, $P_{2}$ et $P_{3}$ ;
montrer qu'il est multiplicativement stable.
\item La matrice $\begin{pmatrix}2&3&4\\ 1&2&3\\
3&1&2\end{pmatrix}$ appartient-elle à $X$ ?
\item On pose $M=M(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&c&b\\ b&a&c\\
c&b&a\end{pmatrix}$ ; décomposer $M$ sur $A_{1}$, $P_{2}$ et
$P_{3}$.
\end{enumerate}
\item Soit $D(a,b,c)=M(a,b,c).M(a,bj,cj^{2}).M(a,bj^{2},cj)$ ; l'expliciter,
si possible sans calcul.
\item Soit $S=M(a,b,c)$ telle que : $a+b+c=j,\;a+bj+cj^{2}=j^{2},%
\;a+bj^{2}+cj=1$.\newline
Donner le déterminant de $S$ et montrer que lorsque $k$ parcourt $\mathbb{N}$%
, les matrices $S^{k}$ forment un ensemble fini dont on précisera le nombre
d'éléments.
\item Même question en prenant maintenant : \newline
$a+b+c=\theta ^{p},\;a+bj+cj^{2}=\theta ^{q},\;a+bj^{2}+cj=\theta ^{r}$ où $%
n\in \mathbb{N}$ et $p,q,r$ sont trois entiers appartenant à l'ensemble $%
\{1,2,\dots ,n\}$.\newline
\underline{Application}. $n=180,\;p=30,\;q=24$ et $r=12$.
\end{enumerate}
\section*{PARTIE\ VII}
Montrer que l'ensemble $\{M(x+y,-x,-y)\quad /\quad (x,y)\in \mathbb{R}^{2}\}$
est un sous anneau de $X$ isomorphe à $\mathbb{C}$.
\label{fin}
\end{document}