%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\noindent {\Huge ESSEC\vspace{-0.25cm}}
\noindent \underline{\hspace{2.6cm}}\smallskip
\noindent {\large M B A\vspace{2cm}}
\begin{center}
CONCOURS D'ADMISSION\vspace{0.4in}
\textbf{Option générale\vspace{1cm}}
{\Large MATHEMATIQUES II\vspace{0.7cm}}
\textbf{Année 1981\bigskip }
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent {\small La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent {\small Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la
mesure du possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent {\small Ils ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation
de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule
l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent {\small Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui
semble une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à
prendre.}\vspace{1.5cm}
\end{quotation}
Les parties II, III, IV, sont, dans une large mesure, ind{é}pendantes.
\bigskip
\section*{Question préliminaire :}
Montrer que, si $X$ d{é}signe une variable al{é}atoire {à} valeurs dans $%
\mathbb{N}^{\times }$, on a, pour tout entier $n$ sup{é}rieur ou {é}gal {à} $%
1$ :
\begin{equation*}
\sum\limits_{k=1}^{n}kP(X=k)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}P(X>k)-nP(X>n)
\end{equation*}
\section*{PARTIE\ I}
\begin{enumerate}
\item Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels tels que $1\leqslant
p\leqslant q$. Quel est le nombre d'applications strictement croissantes de $%
[\hspace{-0.15em}[1,p]\hspace{-0.13em}]$ dans $[\hspace{-0.15em}[1,q]\hspace{%
-0.13em}]$ ?
\item $n$ et $r$ d{é}signant deux entiers naturels non nuls, on note :
\begin{equation*}
\mathcal{F}_{1}=\left\{ f:\left.
\begin{array}{c}
\lbrack \hspace{-0.15em}[1,n]\hspace{-0.13em}]\rightarrow \lbrack \hspace{%
-0.15em}[1,r]\hspace{-0.13em}] \\
i\mapsto f(i)%
\end{array}%
\right. \quad /\quad \sum\limits_{i=1}^{n}f(i)=n+r-1\right\}
\end{equation*}%
et $\mathcal{F}_{2}$ l'ensemble des applications strictement croissantes de $%
[\hspace{-0.15em}[1,n]\hspace{-0.13em}]$ dans $[\hspace{-0.15em}[1,n+r-1]%
\hspace{-0.13em}]$.\newline
Montrer que l'application $\Phi $ de $\mathcal{F}_{1}$ dans $\mathcal{F}_{2}$
d{é}finie par
\begin{equation*}
\forall f\in \mathcal{F}_{1},\;\forall k\in \lbrack \hspace{-0.15em}[1,n]%
\hspace{-0.13em}],\quad \Phi (t)(k)=\sum\limits_{i=1}^{k}f(i)
\end{equation*}%
est une bijection.\newline
En d{é}duire le cardinal de $\mathcal{F}_{1}$.
\item $n$, $N$, $m$ d{é}signant des entiers naturels non nuls tels que $%
n\leqslant m\leqslant N+n-1$, d{é}duire des r{é}sultats pr{é}c{é}dents le
nombre de $n$-uplets $(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ {é}l{é}ments de $[\hspace{%
-0.15em}[1,n]\hspace{-0.13em}]^{n}$ :
\begin{enumerate}
\item tels que $u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\leqslant m$
\item tels que $u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}=m$
\item tels que $u_{1}u_{r+1}$, sinon {à} $N$.
\begin{enumerate}
\item Pour $n\in \mathbb{N}$, calculer $P(X_{N}>n)$.
\item En d{é}duire la loi de probabilit{é} de $X_{N}$ et son esp{é}rance math%
{é}matique $E(X_{N})$.
\item D{é}terminer $\lim\limits_{N\rightarrow +\infty }E(X_{N})$.
\item Montrer qu'il existe une variable al{é}atoire $X$, {à} valeurs dans $%
\mathbb{N}^{\times }$, telle que :
\begin{equation*}
\forall k\in \mathbb{N}^{\times },\quad P(X=k)=\lim\limits_{N\rightarrow
+\infty }P(X_{N}=k)
\end{equation*}%
D{é}montrer que $X$ poss{è}de une esp{é}rance math{é}matique, et la comparer
{à} $\lim\limits_{N\rightarrow +\infty }E(X_{N})$.
\end{enumerate}
\section*{PARTIE\ III}
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour $n$ entier sup{é}rieur ou {é}gal {à} $2$, $%
v_{n}=P(u_{1}\leqslant u_{2}\leqslant \dots \leqslant u_{n})$. On pose, dans
la suite, $v_{1}=1$.
\item Montrer que les s{é}ries de termes g{é}n{é}raux respectifs $v_{n}$, $%
nv_{n}$, et $w_{n}=v_{n}-v_{n+1}$ convergent. Que vaut $\sum\limits_{n=1}^{+%
\infty }w_{n}$ ?
\item En d{é}duire l'existence d'une variable al{é}atoire $Z_{N}$, {à}
valeurs dans $\mathbb{N}^{\times }$, telle que $Z_{N}=r$ si et seulement si $%
r$ est le plus petit entier tel que $u_{r}>u_{r+1}$.\newline
Montrer que $Z_{N}$ admet une esp{é}rance math{é}matique $%
E(Z_{N})=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }v_{n}$.
\item Ecrire la formule de Mac-Laurin, avec reste de Lagrange, pour la
fonction : $x\mapsto (1+x)^{-N}$ ; en d{é}duire une expression de $%
\sum\limits_{n=1}^{p}v_{n}$, puis $E(Z_{N})$.\newline
D{é}terminer $\lim\limits_{N\rightarrow +\infty }E(Z_{N})$.
\item Montrer qu'il existe une variable al{é}atoire $Z$, {à} valeurs dans $%
\mathbb{N}^{\times }$, telle que :
\begin{equation*}
\forall k\in \mathbb{N}^{\times },\quad P(Z=k)=\lim\limits_{N\rightarrow
+\infty }P(Z_{N}=k)
\end{equation*}%
Comparer $Z$ et $X$.
\end{enumerate}
\section*{PARTIE\ IV}
\begin{enumerate}
\item $k$ appartenant {à} $[\hspace{-0.15em}[1,n]\hspace{-0.13em}]$ et $n$ {à%
} $\mathbb{N}^{\times }$, quelle est la probabilit{é} de l'{é}v{é}nement :
\begin{equation*}
\forall i\in \lbrack \hspace{-0.15em}[1,n]\hspace{-0.13em}],\quad kn)$.\newline
Montrer qu'il existe une variable al{é}atoire $T$, {à} valeurs dans $\mathbb{%
N}^{\times }$, telle que :
\begin{equation*}
\forall k\in \mathbb{N}^{\times },\quad P(T=k)=\lim\limits_{N\rightarrow
+\infty }P(T_{N}=k)
\end{equation*}%
et que $T$ ne poss{è}de pas d'esp{é}rance math{é}matique.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}