%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\noindent {\Huge ESSEC\vspace{-0.25cm}}
\noindent \underline{\hspace{2.6cm}}\smallskip
\noindent {\large M B A\vspace{2cm}}
\begin{center}
CONCOURS D'ADMISSION\vspace{0.4in}
\textbf{Option générale et économique\vspace{1cm}}
{\Large MATHEMATIQUES II\vspace{0.7cm}}
\textbf{Année 1989\bigskip }
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent {\small La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent {\small Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la
mesure du possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent {\small Ils ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation
de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule
l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent {\small Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui
semble une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à
prendre.}\vspace{1.5cm}
\end{quotation}
\noindent Dans tout le problème, on désigne par $a$ et $n$ deux entiers
naturels non nuls. L'objet de la \textbf{partie I} est l'étude d'un marché
sur lequel $na$ consommateurs achètent chacun un bien qu'ils peuvent se
procurer (de façon équiprobable) auprès de $n$ fournisseurs $F_{1},\dots
,F_{n}$.\newline
Dans la \textbf{partie II}, on étudie la loi asymptotique du nombre de
clients par fournisseur lorsque $n$ tend vers l'infini.
\section*{Partie I}
On étudie dans cette partie les variables aléatoires suivantes :
\begin{itemize}
\item $X_{i}$ indique le nombre des consommateurs ayant acheté le bien chez
le fournisseur $F_{i}$ ($1\leqslant i\leqslant n$).
\item $Y$ indique le nombre de fournisseurs n'ayant eu aucun client, et le
quotient $Y/n$ représente donc la proportion des fournisseurs n'ayant eu
aucun client.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Etude des variables aléatoires }$X_{i}$\textbf{\ (}$1\leqslant
i\leqslant n$\textbf{)}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi commune, l'espérance et la variance des variables alé%
atoires $X_{i}$, en précisant l'expression de $P(X_{i}=k)$ pour tout entier
naturel $k$.
\item Calculer le mode de $X_{i}$, c'est à dire le ou les entier(s) $k$
tel(s) que $P(X_{i}=k)$ soit maximale. A cet effet, on pourra étudier le
rapport suivant pour $0