%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
\noindent {\Huge ESSEC\vspace{-0.25cm}}
\noindent \underline{\hspace{2.6cm}}\smallskip
\noindent {\large M B A\vspace{2cm}}
\begin{center}
CONCOURS D'ADMISSION\vspace{0.4in}
\textbf{Option économique\vspace{1cm}}
{\Large MATHEMATIQUES III\vspace{0.7cm}}
\textbf{Année 1990\bigskip }
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent {\small La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent {\small Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la
mesure du possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent {\small Ils ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation
de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule
l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent {\small Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui
semble une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à
prendre.}\vspace{1.5cm}
\end{quotation}
\section*{EXERCICE\ I : ANALYSE}
On se propose, dans cet exercice, de rechercher des valeurs approchées des
racines de l'équation $f(x)=0,$ où $f$ est la fonction de $\mathbb{R}$ dans $%
\mathbb{R}$ définie par :%
\begin{equation*}
f(x)=x^{3}-6x^{2}+3x+1
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \underline{Etude de la fonction $f$}
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de f.
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet 3\ racines distinctes $a,$ $b,$ $%
c$ ($a0. $
\item Vérifier que les suites géométriques $(a^{n}),$ $(b^{n}),$ $(c^{n})$
satisfont à la relation (R).
\item Exprimer en fonction de $a,$ $b,$ $c$ trois nombres réels $x,$ $y,$ $z$
tels que :%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x+y+z=u_{0}=0 \\
ax+by+cz=u_{1}=0 \\
a^{2}x+b^{2}y+cz^{2}=u_{2}=1%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
En déduire que, pour tout entier naturel $n,$ on a : $%
u_{n}=xa^{n}+yb^{n}+zc^{n}$
\item On pose pour $n\geqslant 2$ : $\rho _{n}=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}.$
Prouver que la suite $(\rho _{n})$ converge vers $c.$\newline
Exprimer $\rho _{n}-c$ en fonction du quotient $\dfrac{b^{n}-a^{n}}{b-a}$ et
de $u_{n}$ pour $n\geqslant 2.$\newline
En déduire que $\rho _{n}-c$ est équivalent à $K(\dfrac{b}{c})^{n}$ lorsque $%
n$ tend vers l'infini, où $K$ est un nombre réel que l'on explicitera en
fonction de $a,$ $b,$ $c.$
\end{enumerate}
\item \underline{Algorithme de calcul de $c$}$.$
\begin{enumerate}
\item Rédiger en PASCAL un algorithme permettant de calculer d'une part la
valeur de $u_{n},$ d'autre part celle de $\rho _{n}$, tant la condition $%
f(\rho _{n}-10^{-6}).f(\rho _{n}+10^{-6})<0$ n'est pas réalisée.
\item En déduire une valeur approchée à $10^{-6}$ près de $c$ (on précisera
la valeur de l'entier $n$ pour laquelle $\rho _{n}$ convient).
\end{enumerate}
\item \underline{Etude d'une suite convergeant vers $a$}$.$\newline
On considère la suite numérique $(v_{n})$ définie par $v_{0}=v_{1}=0$, $%
v_{2}=1$ et :%
\begin{equation*}
(R^{\prime })\qquad v_{n+3}=3v_{n+2}+6v_{n+1}+v_{n}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Etablir que, pour tout entier naturel $n$ : $v_{n}\geqslant 0$ puis
que, pour tout entier $n\geqslant 2$ : $v_{n}>0.$
\item Vérifier que les suites géométriques $(-\dfrac{1}{a})^{n},$ $(-\dfrac{1%
}{b})^{n},$ $(\dfrac{1}{c})^{n}$ satisfont la relation (R')
\item Exprimer en fonction de $a,$ $b,$ $c$ les trois nombres réels $%
x^{\prime },$ $y^{\prime },$ $z^{\prime }$ tels que :%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x^{\prime }+y^{\prime }+z^{\prime }=v_{0}=0 \\
\dfrac{x^{\prime }}{a}+\dfrac{y^{\prime }}{b}+\dfrac{z^{\prime }}{c}=v_{1}=0
\\
\dfrac{x^{\prime }}{a^{2}}+\dfrac{y^{\prime }}{b^{2}}+\dfrac{z^{\prime }}{%
c^{2}}=v_{2}=1%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
En déduire que, pour tout entier naturel $n,$ on a :%
\begin{equation*}
v_{n}=\dfrac{x^{\prime }}{(-a)^{n}}+\dfrac{y^{\prime }}{(-b)^{n}}+\dfrac{%
z^{\prime }}{(-c)^{n}}.
\end{equation*}
\item On pose pour $n\geqslant 1$ : $q_{n}=\dfrac{v_{n}}{v_{n+1}}.$ Prouver
que la suite $(q_{n})$ converge vers $-a.$\newline
Déterminer un équivalent de $q_{n}+a$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
\end{enumerate}
\item \underline{Algorithme de calcul de $a$}$.$
\begin{enumerate}
\item Rédiger en PASCAL un algorithme permettant de calculer d'une part la
valeur de $v_{n},$ d'autre part celle de $q_{n},$ tant que la condition $%
f(-q_{n}-10^{-6}).f(-q_{n}+10^{-6})<0$ n'est pas réalisée.
\item En déduire une valeur approchée à $10^{-6}$ près de $a$ (on précisera
la valeur de l'entier $n$ pour laquelle $-q_{n}$ convient).
\item Etablir enfin que $a+b+c=6$ et en déduire une valeur approchée de $b.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE\ II : ALGEBRE}
On désigne par $n$ un entier naturel non nul, par $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ $n$
nombres réels non nuls, et $\alpha $ le plus petit des $n$ réels $\left\vert
a_{1}\right\vert ,\left\vert a_{2}\right\vert ,...,\left\vert
a_{n}\right\vert .$\newline
On considère alors les trois matrices carrées d'ordre $n$ définies par :%
\begin{equation*}
A=%
\begin{pmatrix}
a_{1} & 1 & \cdots & 1 \\
1 & a_{2} & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 1 \\
1 & \cdots & 1 & a_{n}%
\end{pmatrix}%
\qquad A=%
\begin{pmatrix}
a_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{2} & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & a_{n}%
\end{pmatrix}%
\qquad A=%
\begin{pmatrix}
0 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 0 & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 1 \\
1 & \cdots & 1 & 0%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}%
Ainsi donc, $M=A-D$
\begin{enumerate}
\item \underline{Majoration de $\alpha $ lorsque $A$ n'est pas inversible}%
\newline
Dans toute cette question, on suppose que la matrice $A$ n'est pas
inversible.
\begin{enumerate}
\item Prouver qu'il existe $n$ réels $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ non nuls tels
que :%
\begin{equation*}
A%
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}%
\end{pmatrix}%
=%
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0%
\end{pmatrix}%
.
\end{equation*}
\item Démontrer que, pour $1\leqslant i\leqslant n,$ on a :%
\begin{equation*}
\alpha \left\vert x_{i}\right\vert \leqslant \left\vert x_{1}\right\vert
+\left\vert x_{2}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{i-1}\right\vert
+\left\vert x_{i+1}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{n}\right\vert
=\sum\limits_{\substack{ j=1 \\ j\neq i}}^{n}\left\vert x_{j}\right\vert
\end{equation*}
\item En déduire, par sommation de ces inégalités, que l'on a : $\alpha
\leqslant n-1.$
\end{enumerate}
\item \underline{Etude d'une suite de matrices colonnes}.\newline
Dans cette question, on suppose que $\alpha >n-1$, donc que $A$ est
inversible.\newline
Etant donnés $n$ nombres réels $b_{1},b_{2},...,b_{n},$ il existe donc $n$
nombres réels $x_{1},x_{2},...,x_{n},$ uniques, tels que l'on ait :%
\begin{equation*}
A%
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}%
\end{pmatrix}%
=%
\begin{pmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{n}%
\end{pmatrix}%
\qquad \text{que l'on note }AX=B.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Etablir que $X=-D^{-1}MX+D^{-1}B$\newline
Etant donné une matrice colonne à $n$ lignes notée $U_{0},$ on définit une
suite de matrices colonnes par la relation : $U_{k+1}=-D^{-1}MU_{k}+D^{-1}B$
($k\in \mathbb{N}),$ et l'on pose :%
\begin{equation*}
U_{k}=%
\begin{pmatrix}
x_{k,1} \\
x_{k,2} \\
\vdots \\
x_{k,n}%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\item Etablir que $U_{k+1}-X=-D^{-1}M(U_{k}-X).$ En déduire que l'on a :%
\begin{equation*}
\sup\limits_{1\leqslant j\leqslant n}\left\vert x_{k+1,j}-x_{j}\right\vert
\leqslant \dfrac{n-1}{\alpha }\sup\limits_{1\leqslant j\leqslant
n}\left\vert x_{k,j}-x_{j}\right\vert
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item \underline{Etude d'un premier exemple (avec $\alpha >n-1)$}\newline
On considère le système d'équations $AX=B$ et la matrice colonne $U_{0}$
suivants :%
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
10 & 1 & 1 \\
1 & -10 & 1 \\
1 & 1 & 10%
\end{pmatrix}%
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}%
\end{pmatrix}%
=%
\begin{pmatrix}
-9 \\
-11 \\
0%
\end{pmatrix}%
\qquad ;\qquad U_{0}=%
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $x_{1},x_{2},x_{3}.$
\item Déterminer les trois premières matrices-colonnes $U_{1},U_{2},U_{3}$
de la suite $(U_{k})$ définie au 2).\newline
Comparer $U_{3}$ à la solution exacte $X$ du système $AX=B.$
\end{enumerate}
\item \underline{Etude d'un second exemple (avec $\alpha \leqslant n-1)$}On
considère le système d'équations $AX=B$ et la matrice colonne $U_{0}$
suivants :%
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & -1%
\end{pmatrix}%
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}%
\end{pmatrix}%
=%
\begin{pmatrix}
-1 \\
-1 \\
0-1%
\end{pmatrix}%
\qquad ;\qquad U_{0}=%
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $x_{1},x_{2},x_{3}.$
\item Déterminer les trois premières matrices-colonnes $U_{1},U_{2},U_{3}$
de la suite $(U_{k})$ définie au 2), puis de façon générale, déterminer $%
U_{k}.$ Que se passe-t-il ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}