%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\noindent {\Huge ESSEC\vspace{-0.25cm}}
\noindent \underline{\hspace{2.6cm}}\smallskip
\noindent {\large M B A\vspace{2cm}}
\begin{center}
CONCOURS D'ADMISSION\vspace{0.4in}
\textbf{Option économique\vspace{1cm}}
{\Large MATHEMATIQUES III\vspace{0.7cm}}
\textbf{Année 1993\bigskip }
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent {\small La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent {\small Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la
mesure du possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent {\small Ils ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation
de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule
l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent {\small Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui
semble une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à
prendre.}\vspace{1.5cm}
\end{quotation}
\section*{EXERCICE\ 1 : analyse et probabilités}
\begin{enumerate}
\item \underline{Somme des carrés des coefficients binômiaux}.\newline
On considère un entier naturel $n,$ et l'on pose :%
\begin{equation*}
u_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}(C_{n}^{k})^{2}=\sum%
\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}C_{n}^{n-k}.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'expression factorisée de $u_{n}$ en calculant de deux faç%
ons le coefficient de $x^{n}$ dans l'égalité polynômiale $%
(1+x)^{2n}=(1+x)^{n}(1+x)^{n}.$
\item Soient $A,$ $B$ deux ensembles disjoints de cardinaux égaux à $n.$%
\newline
Retrouver le résultat précédent en dénombrant de deux façons le nombre des
parties à $n$ éléments de la réunion $A\cup B.$
\end{enumerate}
\item \underline{Equivalent asymptotique des intégrales de Wallis}.\newline
On considère un entier naturel $n,$ et l'on pose :%
\begin{equation*}
v_{n}=\int\limits_{0}^{\pi /2}\sin ^{n}(t)dt
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Etudier le sens de variation de la suite $(v_{n})_{n}.$
\item A l'aide d'une intégration par parties, prouver la relation (R) :%
\begin{equation*}
(R)\qquad (n+2)v_{n+2}=(n+1)v_{n}
\end{equation*}%
(\emph{On pourra utiliser le fait que} $\sin ^{n+2}(t)=\sin (t).\sin
^{n+1}(t))$
\item Etablir la double inégalité :%
\begin{equation*}
\dfrac{n+1}{n+2}\leqslant \dfrac{v_{n+1}}{v_{n}}\leqslant 1
\end{equation*}%
En déduire que $v_{n+1}$ et $v_{n}$ sont équivalents lorsque $n$ tend vers $%
+\infty .$
\item Etablir que la suite $n\mapsto (n+1)v_{n+1}v_{n}$ est constante, puis
expliciter sa valeur. En déduire un équivalent de $v_{n}$ lorsque $n$ tend
vers $+\infty .$
\item A l'aide de la relation (R), calculer $v_{2n}$ et vérifier enfin que :%
\begin{equation*}
v_{n}=\dfrac{\pi }{2.4^{n}}u_{n}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item \underline{Etude d'une suite d'expériences aléatoires}\newline
On considère une suite d'expériences aléatoires dont chacune consiste à
jeter simultanément deux pièces équilibrées. Pour tout entier naturel non
nul $n,$ on se propose de déterminer la probabilité $p_{n}$ de l'évènement $%
E_{n}$ défini de la façon suivante : " A l'issue de la $n^{\text{ème}}$ expé%
rience, les nombres de "Faces" amenés par les deux pièces sont égaux".
\begin{enumerate}
\item Soient $k,$ $n$ deux entiers naturels tels que $0\leqslant k\leqslant
n.$ Déterminer :
\begin{itemize}
\item la probabilité pour que le nombre de "Face" donné par une pièce é%
quilibrée au cours de $n$ jets de celle-ci soit égal à $k.$
\item la probabilité $p(n,k)$ que le nombre de "Face" donné par chacune des
deux pièces à l'issue de la $n^{\text{ème}}$ expérience aléatoire soit égal à
$k.$
\end{itemize}
\item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $u_{n},$ puis de $v_{2n},$ et en dé%
duire un équivalent de $p_{n}$ lorsque l'entier $n$ tend vers $+\infty .$
\end{enumerate}
\item \underline{Nombre moyen de réalisations des évènements $E_{k}$ pour $%
k\leqslant n$}\newline
Pour tout couple $(k,n)$ d'entiers naturels tels que $1\leqslant k\leqslant
n $, on note :
\begin{itemize}
\item $B_{k}$ la variable aléatoire prenant pour valeur $1$ si l'évènement $%
E_{k}$ est réalisé, et $0$ sinon.
\item $X_{n}=B_{1}+B_{2}+\cdots +B_{n}$ la variable aléatoire indiquant le
nombre des entiers $k$ ($1\leqslant k\leqslant n)$ pour lesquels l'évènement
$E_{k}$ est réalisé, donc le nombre de fois où, durant les $n$ premières expé%
riences, il y a eu égalité des nombres de "Face" amenés par les deux pièces.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Exprimer l'espérance de $X_{n}$ en fonction $p_{1},p_{2},...,p_{n}.$
\item Etablir l'égalité suivante :
\begin{equation*}
E(X_{n})=\dfrac{(2n+1)C_{2n}^{n}}{4^{n}}-1.
\end{equation*}%
En déduire un équivalent de cette espérance lorsque $n$ tend vers $+\infty .$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE\ 2 : algèbre et analyse}
On désigne par $E$ l'espace vectoriel des applications continues de $\mathbb{%
R}$ dans $\mathbb{R}$ et, l'on associe à tout élément $f$ de $E$ la fonction
$F=L(f)$ définie sur $\mathbb{R}$ par :%
\begin{equation*}
F(x)=\int\limits_{0}^{1}tf(x-t)dt.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \underline{Propriétés de la fonction $F$}\newline
Effectuer le changement de variable défini par $u=x-t$ dans l'intégrale dé%
finissant $F(x).$\newline
En déduire que $F$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ et préciser
l'expression de $F^{\prime }(x).$
\item \underline{Un premier exemple}\newline
Déterminer $F(x)$ lorsque $f(x)=\exp (ax),$ où $a$ est un réel non nul donné.
\item \underline{Un second exemple}\newline
On considère pour tout entier naturel $n$ les fonctions $f_{n}:x\mapsto
x^{n} $ et leurs images par $L$ notées $F_{n}=L(f_{n})$ et l'on désigne par $%
E_{n}$ le sous-espace vectoriel constitué des fonctions polynômes de degré
inférieur ou égal à $n.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F_{n}$ appartient à $E_{n}$ et exprimer $F_{n}$ en
fonction de $f_{0},f_{1},...,f_{n}.$
\item A l'aide du résultat de la question $1,$ donner une expression de $%
F_{n}^{\prime }(x).$\newline
En déduire une nouvelle expression de $F_{n}(x)$ ainsi qu'une forme simplifié%
e de :%
\begin{equation*}
\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{C_{n}^{k}}{k+2}.
\end{equation*}
\item A tout élément $f=a_{0}f_{0}+a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}+a_{3}f_{3}$ de $%
E_{3},$ on associe son image par $L$ que l'on convient de noter $%
F=A_{0}f_{0}+A_{1}f_{1}+A_{2}f_{2}+A_{3}f_{3}.$
\begin{itemize}
\item Ecrire la matrice $M$ de l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{4}$ défini
par :%
\begin{equation*}
(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})\mapsto (A_{0},A_{1},A_{2},A_{3})
\end{equation*}
\item La matrice $M$ est-elle diagonalisable ?
\item Montrer que $(2M-I)^{4}=0.$ En déduire que $M$ est inversible et
exprimer $M^{-1}$ en fonction de $I_{4},$ $M,$ $M^{2},$ $M^{3}.$
\item Exprimer en fonction de $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}$ l'unique antécédent
dans $E_{3}$ de la fonction $F=A_{0}f_{0}+A_{1}f_{1}+A_{2}f_{2}+A_{3}f_{3}.$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item \underline{Un troisième exemple}\newline
On considère la fonction $f:x\mapsto \dfrac{1}{1+\left\vert x\right\vert }$
et son image par $L$ notée $F.$
\begin{enumerate}
\item Prouver que, pour tout nombre $x,$ on a $0\leqslant F(x)\leqslant
\dfrac{1}{2}.$
\item Expliciter $F(x)$ en distinguant les cas $x\leqslant 0,$ $0