%BECHATA Abdellah %www.mathematiques.fr.st \documentclass[a4paper,french,11pt]{article} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[a4paper]{geometry} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \setcounter{MaxMatrixCols}{10} %TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL} %TCIDATA{Version=5.00.0.2552} %TCIDATA{} %TCIDATA{Created=Wednesday, August 25, 2004 18:55:13} %TCIDATA{LastRevised=Saturday, August 28, 2004 13:22:55} %TCIDATA{} %TCIDATA{} %TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst} \geometry{margin={1cm,2cm}} \pagestyle{fancy} \cfoot{\thepage/\pageref{fin}} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \input{tcilatex} \begin{document} \noindent {\Huge ESSEC\vspace{-0.25cm}} \noindent \underline{\hspace{2.6cm}}\smallskip \noindent {\large M B A\vspace{2cm}} \begin{center} CONCOURS D'ADMISSION\vspace{0.4in} \textbf{Option économique\vspace{1cm}} {\Large MATHEMATIQUES III\vspace{0.7cm}} \textbf{Année 1998\bigskip } \end{center} \begin{quotation} \noindent {\small La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.} \noindent {\small Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.} \noindent {\small Ils ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.} \noindent {\small Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}\vspace{1.5cm} \end{quotation} \noindent On considère dans ce problème un guichet auquel se présentent alé% atoirement des clients. L'objectif est d'étudier la file d'attente se formant à ce guichet au cours du temps, ce qui est traité dans la partie II. Dans la partie I, on étudie une suite récurrente utilisée ultérieurement. \vspace{0.5cm} \section*{Partie I} On considère un nombre réel strictement positif $a$ et la fonction $f$ dé% finie pour tout nombre réel $x$ par: \begin{equation*} f(x)=exp[a(x-1)]. \end{equation*}% On définit alors une suite $(u_{k})$ par son premier terme $u_{0}=0$ et la relation~: \begin{equation*} u_{k+1}=f(u_{k}). \end{equation*} \begin{enumerate} \item \underline{Convergence de la suite $(u_k).$} \begin{enumerate} \item \'Etablir par r\'ecurrence pour tout nombre entier naturel $k$ les in\'egalit\'es: \begin{equation*} 0 \leqslant u_k \leqslant 1 \;\;\;\text{et} \;\;\; u_k \leqslant u_{k+1}. \end{equation*} \item En d\'eduire la convergence de la suite $(u_k)$, dont on notera $L(a)$ la limite. \end{enumerate} \item \underline{Limite de la suite $(u_k)$ lorsque $a < 1.$} \begin{enumerate} \item \`A l'aide de l'in\'egalit\'e des accroissements finis, \'etablir que: \begin{equation*} 0 \leqslant 1 - u_{k+1} \leqslant a(1 - u_k). \end{equation*} \item En d\'eduire l'in\'egalit\'e $0 \leqslant 1 - u_k \leqslant a^k$ pour tout nombre entier naturel $k$, puis la limite $L(a)$ de la suite $(u_k)$ pour $0 < a < 1.$ \end{enumerate} \item \underline{Limite de la suite $(u_k)$ lorsque $a\geqslant 1.$} \begin{enumerate} \item On \'etudie ici les racines de l'\'equation $f(x) = x$ lorsque $a \geqslant 1.$ \begin{itemize} \item[-] Prouver que $0 \leqslant 1 - ln(a)/a \leqslant 1$ pour $a \geqslant 1.$ \item[-] Exprimer l'unique racine de l'\'equation $f^{\prime}(x) = 1$ en fonction de $a$. \item[-] En d\'eduire la variation de la fonction $x \rightarrow f(x) - x$ pour $a = 1$, puis pour $a > 1.$ Pr\'eciser dans ces deux cas le nombre des racines de l'\'equation $f(x) = x. $ \end{itemize} On convient d\'esormais de noter $r(a)$ la plus petite racine de l'\'equation $f(x) = x.$\newline On v\'erifiera en particulier que $0 < r(a) < 1$ pour $a > 1$, et que $r(1) = 1.$ \item On \'etudie ici la plus petite racine $r(a)$ de l'\'equation $f(x) = x$ lorsque $a \geqslant 1.$ \begin{itemize} \item[-] \'Etudier et repr\'esenter graphiquement sur $[0, +\infty[$ la fonction $x \rightarrow xe^{-x}.$ Comparer les images des nombres $a$ et $ar(a)$ par cette fonction. \item[-] En d\'eduire que la fonction $\Phi$, d\'efinie pour $0 \leqslant x \leqslant 1 $ par $\Phi (x) = xe^{-x}$, r\'ealise une bijection de $[0, 1 ]$ sur $[0, 1 /e]$ et montrer que la fonction $\Phi^{-1}$ est continue et strictement croissante sur $[0, 1/e]$ (on citera le th\'eor\`eme utilis\'e). Dresser le tableau de variation de $\Phi^{-1}.$ \item[-] Prouver que $r(a)=\dfrac{1}{a}\Phi ^{-1}(ae^{-a})$, puis déterminer la limite de $r(a)$ en $+\infty .$ \end{itemize} \item On \'etudie maintenant la limite de la suite $(u_k)$ lorsque $% a\geqslant 1$. \begin{itemize} \item[-] \'Etablir l'in\'egalit\'e $0 \leqslant u_k \leqslant r(a)$ pour tout nombre entier naturel $k.$ \item[-] En d\'eduire la limite $L(a)$ de la suite $(u_k)$ pour $a \geqslant 1.$ \item[-] \'Ecrire (en PASCAL) un algorithme permettant de d\'eterminer une valeur approch\'ee de $L(a)$ \`a $10^{-2}$ pr\`es. On obtient ainsi $L(2) = 0,20$, $L(4) = 0,02$, etc. \end{itemize} \end{enumerate} \item \underline{Courbe repr\'esentative de la fonction $a\rightarrow L(a)$ pour $a > 0.$} D\'eduire de ces r\'esultats l'allure de la courbe repr\'esentative de la fonction $a\rightarrow L(a)$ pour $a > 0.$ \end{enumerate} \section*{Partie II} Dans cette partie, le temps est supposé discrétisé et se présente donc comme une succession d'instants $0$, $1$, $2$, $3$, ... , $n$, ... et l'on considè% re un guichet auquel peut se présenter au plus un client dans un intervalle de temps $[n-1,n[$, c'est à dire entre deux instants consécutifs quelconques $n-1$ et $n$ ($n\geqslant 1$).\newline On suppose qu'un premier client est au guichet à l'instant $0$, et, pour tout nombre entier $n\geqslant 1$, on désigne par $B_{n}$ la variable alé% atoire prenant la valeur $1$ si un client se présente au guichet entre les instants $n-1$ et $n$, et $0$ sinon (et le client ainsi arrivé se place au bout de la file d'attente devant le guichet).\newline Ces variables aléatoires $B_{1}$, $B_{2}$, \ldots , $B_{n}$, \ldots sont supposées indépendantes et prennent la valeur $1$ avec la probabilité $p$ (où $0
0$. En particulier, on notera $D$ la variable aléatoire indiquant la durée de service au guichet du client initial.\newline On convient d'appeler première vague de clients l'ensemble de ceux arrivés au guichet pendant la durée de service du client initial, puis, de façon géné% rale, on appelle $(k+1)^{i\grave{e}me}$ vague de clients l'ensemble de ceux arrivés pendant la durée de service des clients de la $k^{i\grave{e}me}$ vague. On désigne alors par $N_{k}$ le nombre aléatoire des clients de la $% k^{i\grave{e}me}$ vague (étant entendu que l'on pose $N_{k}=0$ s'il n'y a pas de client de $k^{i\grave{e}me}$ vague). Par convention, on pose $N_{0}=1. $ \begin{enumerate} \item \underline{Loi de la variable al\'eatoire $N_1.$} \begin{enumerate} \item \'Etant donn\'e un nombre entier naturel $n$, d\'eterminer la loi de la variable al\'eatoire $N_1$ conditionn\'ee par l'\'ev\'enement $D = n.$ On pr\'ecisera les expressions des probabilit\'es conditionnelles $P(N_1 = k / D = n).$ \item En d\'eduire \`a l'aide de la formule des probabilit\'es totales que $% N_1$ suit une loi de Poisson dont on pr\'ecisera le param\`etre et l'esp\'erance. \end{enumerate} \item \underline{Probabilit\'e pour que la file d'attente au guichet s'ach\`eve.} \emph{Dans toute la suite du probl\`eme, on convient de poser $p_k = P(N_k = 0).$} \begin{enumerate} \item Prouver que l'\'ev\'enement: ``la file d'attente au guichet s'ach\`eve au bout d'un temps fini'' (autrement dit: ``il n'y a plus personne au guichet au bout d'un temps fin'') est la r\'eunion des \'ev\'enements $``N_k = 0^{\prime\prime}$, pour $% k \geqslant 1.$ Montrer que cette suite d'\'ev\'enements $(N_k = 0)_{k\geqslant 1}$ est croissante, et en d\'eduire: \begin{itemize} \item[-] que la suite $(p_k)_{k\geqslant 1} = (P(N_k = 0)_{k\geqslant 1}$ est convergente vers une limite $L \leqslant 1.$ \item[-] que la probabilit\'e pour que la file d'attente au guichet s'ach\`eve au bout d'un temps fini est \'egale \`a cette limite $L.$ \end{itemize} \item Justifier, pour tout couple $(j,k)$ de nombres entiers naturels, les formules: \begin{equation*} P(N_{k+1} = 0 / N_1 = 1) = P(N_k = 0) \;\;\; ; \;\;\; P(N_{k+1} = 0 / N_1 = j) = (P(N_k = 0))^j. \end{equation*} \item En d\'eduire l'expression de $p_{k+1} = P(N_{k+1} = 0)$ en fonction de $p_k$, pr\'eciser $p_0$ et, \`a l'aide des r\'esultats de la partie I, la limite de la suite $(p_k)$ et la probabilit\'e pour que la file d'attente au guichet s'ach\`eve au bout d'un temps fini. On discutera et interpr\'etera le r\'esultat obtenu en fonction des valeurs de $\lambda p.$ \item D\'eterminer les valeurs exactes ou approch\'ees \`a $10^{-2}$ pr\`es des probabilit\'es pour que la file d'attente au guichet s'ach\`eve au bout d'un temps fini lorsque la dur\'ee moyenne de service d'un client au guichet est \'egale \`a $1$, $2$, $4$ ou $8$ instants tandis que la probabilit\'e pour qu'un client se pr\'esente au guichet entre deux instants cons\'ecutifs donn\'es est \'egale \`a $0,5$ d'abord, \`a $0,25$ ensuite. \end{enumerate} \item \underline{Calcul de l'esp\'erance $E(N_k)$ de la variable al\'eatoire $N_k.$} On convient d'appeler ``esp\'erance de la variable al\'eatoire $N_{k+1}$ conditionn\'ee par l'\'ev\'enement $N_k = i$'', et de noter $E(N_{k+1} / N_k = i)$, l'esp\'erance de $N_{k+1}$ lorsque la probabilit\'e est la probabilit\'e conditionnelle sachant l'\'ev\'enement $N_k = i$ r\'ealis\'e, autrement dit l'esp\'erance d\'efinie comme suit (si elle existe): \begin{equation*} (\ast )\qquad E(N_{k+1}/N_{k}=i)=\sum_{j=0}^{+\infty }jP(N_{k+1}=j/N_{k}=i). \end{equation*} \begin{enumerate} \item On suppose l'\'ev\'enement $N_k = i$ r\'ealis\'e. D\'eterminer alors la loi de la dur\'ee de service de ces i clients de la $k^{\text{i\`eme}}$ vague en distinguant les cas $i = 0$ et $i \geqslant 1.$ En d\'eduire la loi de la variable al\'eatoire $N_{k+1}$ conditionn\'ee par l'\'ev\'enement $N_k=i$ et v\'erifier que $E(N_{k+1} / N_k = i)=i\lambda p.$ \item On suppose que l'esp\'erance $E(N_k)$ existe. \'Etablir que: \begin{equation*} E(N_k)=\dfrac{1}{\lambda p}\sum_{i=0}^{+\infty} P(N_k=i).E(N_{k+1} / N_k = i). \end{equation*} En admettant qu'il est alors licite de permuter les symboles $\sum$ dans le calcul, \'etablir l'existence de l'esp\'erance $E(N_{k+1})$ et donner son expression en fonction de $\lambda$, $p$ et de l'esp\'erance $E(N_k).$ \item En d\'eduire l'existence et l'expression de $E(N_k).$ \item D\'eterminer l'esp\'erance du nombre de clients qui se pr\'esentent au guichet jusqu'\`a ceux de la $n^{i\grave{e}me}$ vague incluse. \item Discuter et interpréter la limite de cette espérance quand $n$ tend vers $+\infty $ pour $\lambda p<1.$ Qu'obtient-on numériquement dans les cas évoqués au $2^{o}(d)$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \label{fin} \end{document}