%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\noindent {\Huge ESSEC\vspace{-0.25cm}}
\noindent \underline{\hspace{2.6cm}}\smallskip
\noindent {\large M B A\vspace{2cm}}
\begin{center}
CONCOURS D'ADMISSION\vspace{0.4in}
\textbf{Option scientifique\vspace{1cm}}
{\Large MATHEMATIQUES I\vspace{0.7cm}}
\textbf{Année 1998\bigskip }
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent {\small La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent {\small Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la
mesure du possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent {\small Ils ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation
de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule
l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent {\small Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui
semble une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à
prendre.}\vspace{1.5cm}
\end{quotation}
\noindent On considère dans ce problème une fonction $f$ à valeurs réelles dé%
finie sur $[-2,-1]$ et l'on se propose de la prolonger en une fonction $F$ à
valeurs réelles de classe $C^{1}$, et vérifiant la relation $F^{\prime
}(x)=F(x-x^{2})$ pour $x\geqslant -1$.\newline
Dans la \textbf{partie 1}, on étudie une suite utilisée dans la \textbf{%
partie 2}. On prolonge alors $f$ en une fonction $F$ vérifiant la relation pr%
écédente sur $[-1,0]$, puis sur $[-1,2]$, ce qui fait respectivement l'objet
des \textbf{parties 2} et \textbf{3}.
\textit{Les \textbf{parties 2} et \textbf{3} sont indépendantes.}
\section*{Partie 1}
\begin{enumerate}
\item \underline{Etude d'une fonction auxiliaire.}\newline
On considère dans cette question la fonction $\psi $ définie sur $\mathbb{R}$
par $\psi (x)=x-x^{2}$.
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations et représenter graphiquement cette fonction $%
\psi $.
\item Etablir, à l'aide d'un théorème dont on citera précisément l'énoncé,
que $\psi $ induit une bijection de $]-\infty ,0]$ sur $]-\infty ,0]$.
\item Etudier les variations et représenter graphiquement (sur la figure préc%
édente) la bijection réciproque.
\end{enumerate}
\item \underline{Etude d'une suite définie par récurrence.}\newline
On considère la suite $(x_{n})$ de premier terme $x_{0}=-2$ et définie pour $%
n\geqslant 1$ par:
\begin{equation*}
x_{n}-x_{n}^{2}=x_{n-1}\text{ et }x_{n}<0
\end{equation*}%
(on donne ainsi un procédé permettant de définir $x_{n}$ en fonction de $%
x_{n-1}$)
\begin{enumerate}
\item Déterminer $x_{1}$ et $x_{2}$, puis montrer que, pour tout nombre
entier naturel $n$, le nombre réel $x_{n}$ est bien défini, de façon unique,
à partir de $x_{n-1}$.
\item Etudier le sens de variation et la convergence de la suite $(x_{n})$,
puis montrer que $(x_{n})$ converge vers $0$.
\item On pose pour tout nombre entier naturel $n$ :
\begin{equation*}
u_{n}=x_{n+1}-x_{n},\quad v_{n}=\ln (1+u_{n}),\quad
w_{n}=(1+u_{0})(1+u_{1})\cdots (1+u_{n})
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item Prouver la convergence de la série $\sum u_{n}$, et déterminer sa
somme.
\item Prouver la convergence de la série $\sum v_{n}$, et donner un majorant
de sa somme.
\item Prouver la convergence de la suite $(w_{n})$, et montrer que $%
2\leqslant \lim (w_{n})\leqslant 9$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
Dans la suite, on considère une fonction $f$ à valeurs réelles positives, de
classe $C^{1}$ sur le segment $[-2,-1]$ et vérifiant la relation $f^{\prime
}(-1)=f(-2)$.
\end{enumerate}
\section*{Partie 2}
On étudie dans cette partie le problème P0 suivant :\newline
Etudier l'existence et l'unicité d'une fonction $F:[-2,0]\rightarrow \mathbb{%
R}$ vérifiant les 3 hypothèses :\newline
$H_{1}$: $F$ est de classe $C^{1}$ sur $[-2,0]$.\newline
$H_{2}$: $F(x)=f(x)$ pour tout nombre $x$ appartenant à $[-2,-1]$ ($f$ est
"prolongée" par $F$).\newline
$H_{3}$: $F^{\prime }(x)=F(x-x^{2})$ pour tout nombre $x$ appartenant à $%
[-1,0]$.
\begin{enumerate}
\item \underline{Unicité d'une solution $F$.}\newline
On suppose qu'il existe une fonction $F$ vérifiant les trois hypothèses précé%
dentes.
\begin{enumerate}
\item Si $t$ est un réel appartenant à $[x_{n},x_{n+1}]$, établir que $%
t-t^{2}$ appartient à $[x_{n-1},x_{n}]$.
\item Etablir que si $x$ désigne un nombre réel appartenant à $[x_{1},x_{2}]$%
:
\begin{equation*}
F(x)=f(x_{1})+\int\limits_{x_{1}}^{x}f(t-t^{2})dt
\end{equation*}
\item Etablir pour $n\geqslant 2$ que si $x$ désigne un nombre réel
appartenant à $[x_{n},x_{n+1}]$:
\begin{equation*}
F(x)=F(x_{n})+\int\limits_{x_{n}}^{x}F(t-t^{2})dt
\end{equation*}%
En déduire que la connaissance de $F$ sur $[x_{n-1},x_{n}]$ détermine $F$
sur $[x_{n},x_{n+1}]$.
\item Quelle est la réunion $I$ des intervalles $[x_{n},x_{n+1}]$ pour $%
n\geqslant 0$ ? En déduire que, s'il existe une solution $F$ au problème P0,
celle-ci est unique.
\end{enumerate}
\item \underline{Existence d'une solution $F$.}\newline
On construit sur $I$ une fonction $F$ de la façon suivante: la fonction $F$
est égale à $f$ sur $[-2,-1]$ puis, la supposant ensuite connue sur $%
[x_{n-1},x_{n}]$ pour $n\geqslant 1$, on pose pour tout nombre réel $x$
appartenant à $[x_{n},x_{n+1}]$:
\begin{equation*}
F(x)=F(x_{n})+\int\limits_{x_{n}}^{x}F(t-t^{2})dt
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer, pour tout nombre entier naturel $n$, que la fonction $F$ est
de classe $C^{1}$ sur $[x_{n},x_{n+1}]$ et préciser $F^{\prime }(x)$ en
fonction de $F$ et de $x$. Préciser les dérivées à droite et à gauche de $F$
en $x_{1}$, puis, de façon générale, en $x_{n}$.\newline
En déduire que la fonction $F$ est de classe $C^{1}$ sur $I$.
\item Etudier le sens de variation de $F$ sur $[x_{1},x_{2}]$, puis montrer
que $F$ est croissante sur $[-1,0[$.
\item On note $M$ le maximum de la fonction positive $f$ sur $[-2,-1]$.%
\newline
Etablir, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $[-2,x_{n+1}]$, que $%
0\leqslant F(x)\leqslant M\dfrac{w_{n}}{2}$.\newline
En déduire que la fonction $F$ est majorée sur l'intervalle $[-2,0[$.
\item Etablir que $F(x)$ admet une limite $L$ quand $x$ tend vers $0$. On
pose alors $F(0)=L$.\newline
Prouver, à l'aide d'un théorème dont on citera précisément l'énoncé, que $F$
est de classe $C^{1}$ sur $[-2,0]$ (on précisera $F^{\prime }(0)$), puis que
$F$ est solution du problème P0
\end{enumerate}
\item \underline{Etude du signe de $L$.}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le signe de $L=F(0)$.
\item A quelle condition nécessaire et suffisante portant sur $f$ le nombre $%
L$ est-il nul ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Partie 3}
On étudie dans cette partie le problème P1 suivant :\newline
Etudier l'existence et l'unicité d'une fonction $F:[-2,1]\rightarrow \mathbb{%
R}$ vérifiant les 3 hypothèses :\newline
H1: $F$ est de classe $C^{1}$ sur $[-2,1]$.\newline
H2: $F(x)=f(x)$ pour tout nombre $x$ appartenant à $[-2,-1]$ ($f$ est
"prolongée" par $F$).\newline
H3: $F^{\prime }(x)=F(x-x^{2})$ pour tout nombre $x$ appartenant à $[-1,1]$.%
\newline
On introduit à cet effet les notations suivantes :
\begin{itemize}
\item $E$ désigne l'ensemble des fonctions réelles $g$ de classe $C^{1}$ sur
$[0,1]$ et telles que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $[0,1]$, on
ait $g^{\prime }(x)=g(x-x^{2})$.
\item $\Phi $ désigne l'application associant à tout élément $g$ de $E$ le
nombre réel $g(0)$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item \underline{Propriétés de l'application $\Phi $.}
\begin{enumerate}
\item Prouver que $E$ est un espace vectoriel, et que l'application $\Phi $
est linéaire sur $E$.
\item Soit $g$ un élément du noyau de $\Phi $ et $M$ le maximum de la
fonction $\left\vert g\right\vert $ sur $[0,\dfrac{1}{4}]$.
\begin{itemize}
\item Etablir, à l'aide de l'inégalité des accroissements finis, que, pour
tout nombre réel $x$ appartenant à $[0,1]$, on a $\left\vert g(x)\right\vert
\leqslant Mx$.
\item En déduire que $M=0$, puis que $g$ est la fonction nulle sur $[0,1]$.
Conclure.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item \underline{Etude d'une suite de fonctions $(g_{n})$.}\newline
On définit une suite de fonctions $(g_{n})$ de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ en
posant $g_{0}(x)=1$, puis pour tout nombre entier $n\geqslant 1$ et tout
nombre réel $x$ appartenant à $[0,1]$ :
\begin{equation*}
g_{n}(x)=1+\int\limits_{0}^{x}g_{n-1}(t-t^{2})dt
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer $g_{1}(x)$ et $g_{2}(x)$.
\item Etablir que $g_{n}$ est une fonction polynôme. Notant $d_{n}$ son degré%
, on exprimera $d_{n+1}$ en fonction de $d_{n}$, puis l'on en déduira $d_{n}$
en fonction de $n$.
\item Etant donné un nombre réel $x$ appartenant à $[0,1]$, établir par ré%
currence sur $n$ la double inégalité suivante:
\begin{equation*}
0\leqslant g_{n+1}(x)-g_{n}(x)\leqslant \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}
\end{equation*}
\item En déduire, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $[0,1]$, que la
suite $(g_{n}(x))$ est croissante, majorée par $e^{x}$, donc convergente
vers une limite que l'on conviendra de noter $g(x)$ (et $g$ réalise donc une
application de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$).
\end{enumerate}
\item \underline{Etude de la fonction $g$ définie par $g(x)=\lim g_{n}(x)$.}
\begin{enumerate}
\item Etablir, pour tout couple $(n,p)$ de nombres entiers naturels et tout
nombre réel $x$ appartenant à $[0,1]$:
\begin{equation*}
0\leqslant g_{n+p}(x)-g_{n}(x)\leqslant \sum_{k=n+1}^{n+p}\dfrac{x^{k}}{k!}
\end{equation*}%
En déduire, pour tout nombre entier naturel $n$ et tout nombre réel $x$ tel
que $0\leqslant x\leqslant 1$:
\begin{equation*}
0\leqslant g(x)-g_{n}(x)\leqslant e-\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}
\end{equation*}
\item Etablir l'inégalité suivante pour tout couple $(x,h)$ de nombres réels
tels que $x$ et $x+h$ appartiennent à $[0,1]$:
\begin{equation*}
\left\vert g(x+h)-g(x)\right\vert \leqslant 2\left( e-\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1%
}{k!}\right) +\left\vert g_{n}(x+h)-g_{n}(x)\right\vert
\end{equation*}%
En déduire, par un choix convenable de $n$ puis de $h$, que $\left\vert
g(x+h)-g(x)\right\vert $ peut être rendu inférieur à tout nombre $%
\varepsilon >0$ donné à l'avance.\newline
En déduire enfin que $g$ est continue en tout $x$ appartenant à $[0,1]$, et
donc sur $[0,1]$.
\item Prouver, pour $0\leqslant x\leqslant 1$, que la limite de l'expression
suivante est nulle:
\begin{equation*}
\int\limits_{0}^{x}g(t-t^{2})dt-\int\limits_{0}^{x}g_{n}(t-t^{2})dt
\end{equation*}%
En revenant à la définition de la suite $(g_{n})$, en déduire que:
\begin{equation*}
g(x)=1+\int\limits_{0}^{x}g(t-t^{2})dt
\end{equation*}
\item Prouver enfin que $g$ est un élément de $E$ tel que $\Phi (g)=1$.
\end{enumerate}
\item \underline{Résolution du problème P1.}
\begin{enumerate}
\item Déduire des questions précédentes que l'application $\Phi $ est
bijective, et donner la dimension de l'espace vectoriel $E$.
\item Déduire des résultats des parties 2 et 3 qu'il existe une et une seule
fonction $F$ solution du problème P1.
\end{enumerate}
\item \underline{Résolution du problème P2.}\newline
On étudie enfin le problème P2 suivant :\newline
Etudier l'existence et l'unicité d'une fonction $F:[-2,2]\rightarrow \mathbb{%
R}$ vérifiant les 3 hypothèses :\newline
H1: $F$ est de classe $C^{1}$ sur $[-2,2]$.\newline
H2: $F(x)=f(x)$ pour tout nombre $x$ appartenant à $[-2,-1]$ ($f$ est
"prolongée" par $F$).\newline
H3: $F^{\prime }(x)=F(x-x^{2})$ pour tout nombre $x$ appartenant à $[-1,2]$.
\begin{enumerate}
\item Prouver que, si $F$ est solution du problème P2, l'application $%
x\mapsto F(x)+F(1-x)$ est constante sur $[-1,2]$.
\item En déduire que le problème P2 admet une solution $F$ et une seule.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}