0$.\newline En particulier, on notera $D$ la variable aléatoire indiquant la durée de service au guichet du client initial. \newline On convient d'appeler première vague de clients l'ensemble de ceux arrivés au guichet pendant la durée de service du client initial, puis, de façon géné% rale, on appelle $(k+1)$-ième vague de clients l'ensemble de ceux arrivés pendant la durée de service des clients de la $k$-ième vague.\newline On désigne alors par $N_{k}$ le nombre aléatoire des clients de la $k$-ième vague (étant entendu que l'on pose $N_{k}=0$ s'il n'y a pas de client de $k$% -ième vague). Par convention, on pose $N_{0}=1$. \begin{enumerate} \item \underline{Loi de la variable aléatoire $N_{1}$.} \begin{enumerate} \item Etant donné un nombre entier naturel $n$, déterminer la loi de la variable aléatoire $N_{1}$ conditionnée par l'événement $D=n$.\newline On précisera les expressions des probabilités conditionnelles $% P(N_{1}=k/D=n) $. \item En déduire à l'aide de la formule des probabilités totales que $N_{1}$ suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre et l'espérance. \end{enumerate} \item \underline{Probabilité pour que la file d'attente au guichet s'achève.} \begin{equation*} \begin{tabular}{l} Dans toute la suite du problème, on convient de poser $p_{k}=P(N_{k}=0)$.% \end{tabular}% \end{equation*} \begin{enumerate} \item Prouver que l'événement : \begin{equation*} \begin{tabular}{l} \textquotedblleft la file d'attente au guichet s'achève au bout d'un temps fini\textquotedblright% \end{tabular}% \end{equation*} (autrement dit: \textquotedblleft il n'y a plus personne au guichet au bout d'un temps fin\textquotedblright ) est la réunion des événements \textquotedblleft $N_{k}=0$\textquotedblright , pour $k\geqslant 1$.\newline Montrer que cette suite d'événements $(N_{k}=0)_{k\geqslant 1}$ est croissante, et en déduire : \begin{itemize} \item que la suite $(p_{k})_{k\geqslant 1}=(P(N_{k}=0)_{k\geqslant 1}$ est convergente vers une limite $L\leqslant 1$. \item que la probabilité pour que la file d'attente au guichet s'achève au bout d'un temps fini est égale à cette limite $L$. \end{itemize} \item Justifier, pour tout couple $(j,k)$ de nombres entiers naturels, les formules: \begin{equation*} P(N_{k+1}=0/N_{1}=1)=P(N_{k}=0)\qquad ;\qquad P(N_{k+1}=0/N_{1}=j)=(P(N_{k}=0))^{j} \end{equation*} \item En déduire l'expression de $p_{k+1}=P(N_{k+1}=0)$ en fonction de $% p_{k} $, préciser $p_{0}$ et, à l'aide des résultats de la partie 1, la limite de la suite $(p_{k})$ et la probabilité pour que la file d'attente au guichet s'achève au bout d'un temps fini.\newline On discutera et interprétera le résultat obtenu en fonction des valeurs de $% \lambda p$. \item Déterminer les valeurs exactes ou approchées à $10^{-2}$ près des probabilités pour que la file d'attente au guichet s'achève au bout d'un temps fini lorsque la durée moyenne de service d'un client au guichet est é% gale à $1$, $2$, $4$ ou $8$ instants tandis que la probabilité pour qu'un client se présente au guichet entre deux instants consécutifs donnés est é% gale à $0,5$ d'abord, à $0,25$ ensuite. \end{enumerate} \item \underline{Calcul de l'espérance $E(N_{k})$ de la variable aléatoire $% N_{k}$.}\newline On convient d'appeler \textquotedblleft espérance de la variable aléatoire $% N_{k+1}$ conditionnée par l'événement $N_{k}=i$\textquotedblright , et de noter $E(N_{k+1}/N_{k}=i)$, l'espérance de $N_{k+1}$ lorsque la probabilité est la probabilité conditionnelle sachant l'événement $N_{k}=i$ réalisé, autrement dit l'espérance définie comme suit (si elle existe) : \begin{equation*} (\ast )\qquad E(N_{k+1}/N_{k}=i)=\sum_{j=0}^{+\infty }jP(N_{k+1}=j/N_{k}=i) \end{equation*} \begin{enumerate} \item On suppose l'événement $N_{k}=i$ réalisé. Déterminer alors la loi de la durée de service de ces $i$ clients de la $k$-ième vague en distinguant les cas $i=0$ et $i\geqslant 1$.\newline En déduire la loi de la variable aléatoire $N_{k+1}$ conditionnée par l'évé% nement $N_{k}=i$ et vérifier que $E(N_{k+1}/N_{k}=i)=i\lambda p$. \item On suppose que l'espérance $E(N_{k})$ existe. Etablir que: \begin{equation*} E(N_{k})=\dfrac{1}{\lambda p}\sum_{i=0}^{+\infty }P(N_{k}=i).E(N_{k+1}/N_{k}=i) \end{equation*}% En admettant qu'il est alors licite de permuter les symboles $\sum $ dans le calcul, établir l'existence de l'espérance $E(N_{k+1})$ et donner son expression en fonction de $\lambda $, $p$ et de l'espérance $E(N_{k})$. \item En déduire l'existence et l'expression de $E(N_{k})$. \item Déterminer l'espérance du nombre de clients qui se présentent au guichet jusqu'à ceux de la $n$-ième vague incluse. \item Discuter et interpréter la limite de cette espérance quand $n$ tend vers $+\infty $ pour $\lambda p<1$. Qu'obtient-on numériquement dans les cas évoqués dans la question 2.d) ? \end{enumerate} \item \underline{Appendice: le théorème de Fubini sur les séries doubles $% \sum \sum v_{i,j}$}\newline Dans cette question indépendante des précédentes, on se propose de justifier la permutation des symboles $\sum $, faite dans la question 2.3. A cet effet, on donne pour tout couple $(i,j)$ de $\mathbb{N}^{2}$ un nombre réel positif $v_{i,j}$, et l'on note (sous réserve de convergence) pour tout couple $(i,j)$ de $\mathbb{N}^{2}$: \begin{equation*} A_{i}=\sum_{j=0}^{+\infty }v_{i,j}\qquad ;\qquad B_{j}=\sum_{i=0}^{+\infty }v_{i,j} \end{equation*}% On se propose donc d'établir l'égalité suivante: \begin{equation*} \sum_{i=0}^{+\infty }\left( \sum_{j=0}^{+\infty }v_{i,j}\right) =\sum_{j=0}^{+\infty }\left( \sum_{i=0}^{+\infty }v_{i,j}\right) \end{equation*}% l'existence de l'un des deux membres impliquant alors l'existence de l'autre. \begin{enumerate} \item On suppose que les séries définissant les nombres $A_{i}$ sont convergentes, et que la série $\sum A_{i}$ est convergente. Etablir pour tout couple $(p,q)$ de $N^{2}$: \begin{equation*} \sum_{j=0}^{q}\left( \sum_{i=0}^{p}v_{i,j}\right) =\sum_{i=0}^{p}\left( \sum_{j=0}^{q}v_{i,j}\right) \leqslant \sum_{i=0}^{+\infty }\left( \sum_{j=0}^{+\infty }v_{i,j}\right) \end{equation*}% En déduire la convergence des séries définissant les nombres $B_{j}$ et, en faisant tendre $p$ vers $+\infty $, en déduire la convergence de la série $% \sum B_{j}$, puis l'inégalité : \begin{equation*} \sum_{j=0}^{+\infty }\left( \sum_{i=0}^{+\infty }v_{i,j}\right) \leqslant \sum_{i=0}^{+\infty }\left( \sum_{j=0}^{+\infty }v_{i,j}\right) \end{equation*} \item Quel résultat analogue peut-on obtenir en permutant les hypothèses portant sur les nombres $A_{i}$ et $B_{j}$? Quelle conclusion en tire-t-on ? \item Si $X$ et $Y$ désignent deux variables aléatoires à valeurs dans $N$, préciser enfin sous quelles hypothèses il est licite d'écrire que : \begin{equation*} E(Y)=\sum_{i=0}^{+\infty }P(X=i).E(Y/X=i) \end{equation*} \end{enumerate} \end{enumerate} \label{fin} \end{document}