%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\noindent {\Huge ESSEC\vspace{-0.25cm}}
\noindent \underline{\hspace{2.6cm}}\smallskip
\noindent {\large M B A\vspace{2cm}}
\begin{center}
CONCOURS D'ADMISSION\vspace{0.4in}
\textbf{Option économique\vspace{1cm}}
{\Large MATHEMATIQUES III\vspace{0.7cm}}
\textbf{Année 2000\bigskip }
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent {\small La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent {\small Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la
mesure du possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent {\small Ils ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation
de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule
l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent {\small Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui
semble une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à
prendre.}\vspace{1.5cm}
\end{quotation}
\section*{EXERCICE 1 (Fonction de production de Cobb-Douglas)}
Une entreprise produit des biens B dont la fabrication nécessite :
\begin{itemize}
\item un certain volume d'heures de travail, d\'esign\'e par $x$ dans la
suite (avec $x> 0$).
\item un certain volume d'\'equipements, d\'esign\'e par $y$ dans la suite
(avec $y > 0$).
\end{itemize}
On suppose que la quantit\'e de biens B produits avec un volume d'heures de
travail \'egal \`a $x$ et un volume d'\'equipements \'egal \`a $y$ est :
\begin{equation*}
f(x,y)=x^ay^b
\end{equation*}
o\`u $a$, $b$ d\'esignent deux nombres r\'eels tels que $0 < a < 1$ et $%
0 0$ le volume $x$ des heures
de travail et le volume $y$ des \'equipements. Par quel facteur est
multipli\'ee la quantit\'e produite ?
Comment interpréter économiquement la position du nombre $a+b$ par rapport à
$1$ ?
\item \underline{\'Etude d'un cas particulier.}
On suppose dans cette question (et seulement dans celle-ci) que $a = b = 1/2$
et $u= 4$, $v = 1$.
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que l'ensemble des points $(x, y)$ avec $x> 0$, $y> 0$ tels
que $f(x, y) = 2$ est la courbe d'\'equation $y=4/x$.
\item D\'eterminer une \'equation de la tangente \`a la courbe d'\'equation $%
y=4/x$ au point d'abscisse $1$.
\item Construire sur une m\^eme figure (unit\'e 2 cm) les ensembles des
points $(x,y)$ tels que :
\begin{itemize}
\item $x>0$, $y>0$ et $f(x,y)=2$.
\item $x>0$, $y>0$ et $g(x,y)=8$.
\item $x>0$, $y>0$ et $g(x,y)=10$.
\end{itemize}
D\'eterminer les points d'intersection du premier de ces ensembles avec les
deux suivants et donner une interpr\'etation de ces points en termes de
production et de co\^ut de production.
\item R\'epondre aux deux questions suivantes en justifiant graphiquement
votre raisonnement :
\begin{itemize}
\item Pour une production égale à $2$, quel est le coût minimal $K$
envisageable ?
\item Pour un coût égal à $8$, quelle est la quantité produite maximale $Q$
envisageable ?
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item \underline{Optimisation de la quantit\'e produite \`a niveau de co\^ut
donn\'e.}
On \'etudie dans cette question la maximisation de la quantit\'e produite $Q
=f(x, y)$ en supposant que le co\^ut de production $K = g(x, y)$ est donn\'e.
Autrement dit, on cherche \`a maximiser $Q =f(x, y)$ sous la contrainte de
co\^ut $K = g(x, y)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que ce problème équivaut à maximiser la fonction de la
variable $x$ définie par :
\begin{equation*}
F(x)=f(x,\dfrac{K-ux}{v})\;\;\text{avec}\;\;00.
\end{equation*}
\item D\'eterminer $G^{\prime}(x)$, en d\'eduire les variations de la
fonction $G$ et les valeurs de $x$ et $y$ qui permettent d'optimiser le
co\^ut de production $K = g(x, y)$ sous la contrainte $Q =f(x, y)$.
\item En d\'eduire que le co\^ut optimal $K$ pouvant \^etre obtenu sous la
contrainte de production $Q =f(x,y)$ est de la forme $K=dQ^{1/(a+b)}$ o\`u $%
d $ est une constante d\'ependant de $a$, $b$, $u$, $v$ que l'on explicitera.
On pr\'ecisera la forme particuli\`ere du r\'esultat obtenu lorsque $a+b = 1$%
.
\item Comparer à l'expression de $Q$ en fonction de $K$ obtenue à la fin de
la question 3. Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 2 (Formule de Stirling)}
\noindent L'objet de l'exercice est d'établir la formule de Stirling (\emph{%
James Stirling}, mathématicien écossais, 1692-1770), qui donne un équivalent
de $n!$ quand $n$ tend vers $+\infty $.
\subsection*{Partie I}
\begin{enumerate}
\item Calculer pour tout nombre entier $n\geqslant 1$ l'intégrale $%
I_{n}=\int\limits_{1}^{n}\ln (t)dt$ en fonction de $n$.
\item On \'etudie ici un encadrement de l'int\'egrale $I_n$ \`a l'aide de
consid\'erations g\'eom\'etriques. A cet effet, on d\'esigne par $k$ un
nombre entier naturel non nul et on consid\`ere dans le plan rapport\'e \`a
un rep\`ere orthonorm\'e :
\begin{itemize}
\item[-] la courbe repr\'esentative $C$ de la fonction $\ln$ (logarithme
n\'ep\'erien).
\item[-] le segment $\Gamma_k$ dont les extr\'emit\'es sont les points de $C$
d'abscisses $k$ et $k+1$.
\item[-] la tangente $T_k$ \`a la courbe $C$ au point d'abscisse $k$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Justifier les positions relatives de la courbe $C$ par rapport à $%
\Gamma _{k}$, $T_{k}$ et $T_{k+1}$ qui sont mises en évidence sur le
graphique ci-dessous.%
%TCIMACRO{%
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%BeginExpansion
\ifcase\msipdfoutput
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\else
\begin{center}
\includegraphics[
natheight=2.8115in, natwidth=5.0427in, height=2.8548in, width=5.0981in]
{D:/abdellah/mes_maths/enseignement/concours_phec/temp/abdellah/swp/graphiques/essec_2000_E_3__1.pdf}%
\end{center}
\fi
%EndExpansion
\item En calculant l'aire des différents domaines intervenant dans la figure
ci-dessus (on pourra utiliser avec profit la formule donnant l'aire d'un trap%
èze), établir l'encadrement suivant pour tout nombre entier $k\geqslant 1$ :
\begin{equation*}
\dfrac{1}{2}\left( \ln (k)+\ln (k+1)\right) \leqslant
\int\limits_{k}^{k+1}\ln (t)dt\leqslant \dfrac{1}{2}\left( \ln (k)+\ln
(k+1)\right) +\dfrac{1}{8}\left( \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)
\end{equation*}
\item En déduire pour tout nombre entier $n\geqslant 1$ :
\begin{equation*}
\ln (n!)-\dfrac{1}{2}\ln (n)\leqslant I_{n}\leqslant \ln (n!)-\dfrac{1}{2}%
\ln (n)+\dfrac{1}{8}\left( 1-\dfrac{1}{n}\right)
\end{equation*}
\item On considère la suite $(u_{n})$ définie pour $n\geqslant 1$ par :
\begin{equation*}
u_{n}=\ln (n!)-\dfrac{1}{2}\ln (n)
\end{equation*}%
Montrer que la suite $(I_{n}-u_{n})$ est croissante, majorée par $1/8$, donc
convergente.
\item On considère le nombre réel $L$ qui est limite de la suite $%
(I_{n}-u_{n})$. Déduire de l'ensemble des questions précédentes que :
\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{n^{n}\sqrt{n}}{e^{n}n!}=e^{L-1}\;\;\text{%
et}\;\;n!\sim \dfrac{n^{n}}{e^{n}}\sqrt{n}e^{1-L}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie II}
Le but de cette partie est de calculer la valeur du nombre $K=e^{1-L}$ afin
d'en déduire la formule de Stirling. On pose à cet effet pour tout nombre
entier naturel $n$ :
\begin{equation*}
w_{n}=\int\limits_{0}^{\pi /2}\sin ^{n}(t)\,dt
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, établir pour tout nombre
entier naturel $n$ :
\begin{equation*}
w_{n+2}=(n+1)\int\limits_{0}^{\pi /2}\sin ^{n}(t)\ \cos ^{2}(t)\,dt
\end{equation*}%
En déduire que $(n+2)w_{n+2}=(n+1)w_{n}$ puis que $w_{2n}=\dfrac{(2n)!}{%
2^{2n}\left( n!\right) ^{2}}\dfrac{\pi }{2}$.
\item On se propose de d\'eterminer un \'equivalent de $w_n$ quand $n$ tend
vers $+\infty$.
\begin{enumerate}
\item \'Etablir l'in\'egalit\'e $w_{n+2}\leqslant w_{n+1}\leqslant w_n$ et
en d\'eduire l'encadrement suivant :
\begin{equation*}
\dfrac{n+1}{n+2}\ w_n \leqslant w_{n+1} \leqslant w_n.
\end{equation*}
Montrer alors que $w_{n+1}$ est \'equivalent \`a $w_n$ quand $n$ tend vers $%
+\infty$.
\item \'Etablir que la suite $\left((n+1) w_{n+1} w_{n}\right)$ est
constante, \'egale \`a $\pi /2$.
\item En d\'eduire que :
\begin{equation*}
w_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item On \'etablit enfin la formule de Stirling.
\begin{enumerate}
\item D\'eduire des deux questions pr\'ec\'edentes que :
\begin{equation*}
\dfrac{\left(2n\right)!}{\left(n!\right)^2} \sim \dfrac{2^{2n}}{\sqrt{n\pi}}
\end{equation*}
\item Déterminer la valeur de $K$ à l'aide de ce résultat et de la formule é%
tablie à la fin de I :
\begin{equation*}
n!\sim K\dfrac{n^{n}}{e^{n}}\sqrt{n}
\end{equation*}%
En déduire enfin un équivalent de $n!$ quand $n$ tend vers $+\infty $
(formule de Stirling).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}