%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{fancyhdr}
\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{Created=Wednesday, August 25, 2004 18:55:13}
%TCIDATA{LastRevised=Saturday, August 28, 2004 13:14:46}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
\geometry{margin={1cm,2cm}}
\pagestyle{fancy}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\noindent {\Huge ESSEC\vspace{-0.25cm}}
\noindent \underline{\hspace{2.6cm}}\smallskip
\noindent {\large M B A\vspace{2cm}}
\begin{center}
CONCOURS D'ADMISSION\vspace{0.4in}
\textbf{Option scientifique\vspace{1cm}}
{\Large MATHEMATIQUES II\vspace{0.7cm}}
\textbf{Année 2001\bigskip }
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent {\small La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent {\small Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la
mesure du possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent {\small Ils ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation
de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule
l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent {\small Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui
semble une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à
prendre.}\vspace{1.5cm}
\end{quotation}
\noindent Le but du problème est l'étude du coefficient de corrélation liné%
aire de deux variables aléatoires qu'on aborde d'abord de façon générale (%
\textbf{partie I}), puis dans un cas particulier (\textbf{partie II}).
\section*{Partie I}
On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur un même
espace probabilisé et admettant des espérances $E(X)$ et $E(Y)$ et des
variances $V(X)$ et $V(Y)$ et on suppose $V(X)>0$ (on rappelle que $V(X)=0$
si et seulement si, avec une probabilité égale à $1$, $X$ est constante). La
covariance des deux variables aléatoires $X$ et $Y$ (que celles-ci soient
discrètes ou à densité) est alors le nombre réel défini par%
\begin{equation*}
\func{cov}(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))],\text{ ou encore}\;E(XY)-E(X)E(Y)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \underline{Covariance des variables aléatoires $X$ et $Y$}
\begin{enumerate}
\item Exprimer $\func{cov}(\lambda X+Y,\lambda X+Y)$ en fonction de $%
V(\lambda X+Y)$ et en déduire la formule suivante pour tout nombre réel $%
\lambda $ :
\begin{equation*}
V(\lambda X+Y)=\lambda ^{2}V(X)+2\lambda \func{cov}(X,Y)+V(Y)
\end{equation*}
\item En déduire que $(\func{cov}(X,Y))^{2}\leqslant V(X)V(Y)$.\newline
A quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on l'égalité $(\func{cov}%
(X,Y))^{2}=V(X)V(Y)$ ?
\end{enumerate}
\item \underline{Coefficient de corrélation linéaire des variables alé%
atoires $X$ et $Y$}\newline
On suppose dans cette question les variances $V(X)$ et $V(Y)$ de $X$ et $Y$
strictement positives.
\begin{enumerate}
\item Exprimer le coefficient de corrélation linéaire $\rho $ des variables
aléatoires $X$ et $Y$ en fonction de $\func{cov}(X,Y)$ et des écarts-types $%
\sigma (X)$ et $\sigma (Y)$ des variables aléatoires $X$ et $Y$ et montrer
que $\rho $ appartient à $[-1,+1]$.\newline
Préciser de plus à quelle condition nécessaire et suffisante $\rho $ est é%
gal à $-1$ ou $+1$.
\item Donner la valeur de $\rho $ lorsque les variables aléatoires $X$ et $Y$
sont indépendantes.
\item On suppose enfin que $X$ suit une loi normale centrée réduite $%
\mathcal{N}(0,1)$ et que $Y=X^{2}$.\newline
Préciser les espérances et les variances de $X$ et $Y$ ainsi que la
covariance et le coefficient de corrélation de $X$ et $Y$. Etudier alors la r%
éciproque de la question \textbf{2)b)}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Partie II}
\begin{enumerate}
\item \underline{Calculs préliminaires}
\begin{enumerate}
\item On considère deux nombres entiers naturels $q$ et $n$ tels que $%
n\geqslant q $.\newline
En raisonnant par récurrence sur $n$, établir la formule suivante :
\begin{equation*}
\sum_{k=q}^{n}C_{k}^{q}=C_{n+1}^{q+1}
\end{equation*}
\item En faisant $q=1,\;2,\;3$, en déduire une expression factorisée des
trois sommes suivantes :
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n}k\quad ;\quad \sum_{k=2}^{n}k(k-1)\quad ;\quad
\sum_{k=3}^{n}k(k-1)(k-2)
\end{equation*}%
On considère dans toute la suite de cette partie deux nombres entiers $p$ et
$n$ tels que $1\leqslant p\leqslant n$ et une urne contenant $n$ jetons numé%
rotés de $1 $ à $n$. On extrait de cette urne simultanément et au hasard $p$
jetons et on désigne alors par
\begin{itemize}
\item $X$ la variable aléatoire indiquant le plus petit des numéros des $p$
jetons tirés.
\item $Y$ la variable aléatoire indiquant le plus grand des numéros des $p$
jetons tirés.
On note $E(X)$, $V(X)$ et $E(Y)$, $V(Y)$ les espérances et variances des
variables aléatoires $X$ et $Y$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\fbox{\textbf{A}} Dans cette partie \textbf{A}, on suppose que $p=2$
(autrement dit, on extrait deux jetons de l'urne et $X$ et $Y$ sont les
variables aléatoires indiquant le plus petit et le plus grand des $2$ numé%
ros tirés).
\item \underline{Lois des variables aléatoires $X$ et $Y$}
\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre de parties à $2$ éléments d'un ensemble à $j$ élé%
ments? à n éléments ?\newline
En déduire les probabilités $P(Y\leqslant j)$ et $P(Y=j)$ pour $2\leqslant
j\leqslant n$, puis, en raisonnant de même, les probabilités $P(X\geqslant i)
$ et $P(X=i)$ pour $1\leqslant i\leqslant n-1$. (On vérifiera que les
formules donnant $P(Y=j)$ et $P(X=i)$ restent valables si $j=1$ ou $i=n$.
\item Comparer les lois des variables aléatoires $n+1-X$ et $Y$, autrement
dit les deux probabilités $P(n+1-X=j)$ et $P(Y=j)$ pour $2\leqslant
j\leqslant n$.\newline
En déduire que $E(n+1-X)=E(Y)$ et $V(n+1-X)=V(Y)$, puis en déduire les
expressions de $E(X)$ en fonction de $E(Y)$ et de $V(X)$ en fonction de $%
V(Y) $.
\end{enumerate}
\item \underline{\textbf{Espérances et variances des variables aléatoires $X$
et $Y$}}
\begin{enumerate}
\item Exprimer les espérances $E(Y)$ et $E(X)$ en fonction de $n$.
\item Exprimer sous forme factorisée $E((Y(Y-2))$, puis $E(Y^{2})$, $V(Y)$
et $V(X)$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item \underline{Covariance et coefficient de corrélation linéaire des
variables aléatoires $X$ et $Y$}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité $P(X=i\cap Y=j)$ est égale à $\dfrac{2}{%
n(n-1)}$ pour $1\leqslant i