%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
\noindent {\Huge ESSEC\vspace{-0.25cm}}
\noindent \underline{\hspace{2.6cm}}\smallskip
\noindent {\large M B A\vspace{2cm}}
\begin{center}
CONCOURS D'ADMISSION\vspace{0.4in}
\textbf{Option scientifique\vspace{1cm}}
{\Large MATHEMATIQUES II\vspace{0.7cm}}
\textbf{Année 2004\bigskip }
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent {\small La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent {\small Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la
mesure du possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent {\small Ils ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation
de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule
l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent {\small Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui
semble une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à
prendre.}\vspace{1.5cm}
\end{quotation}
\section*{Notations}
Dans tout le probl\`eme, $n$ d\'esigne un entier naturel sup\'erieur ou
\'egal \`a $2$.
On note $E_{n}=\{1,2,\dots ,n\}=[\hspace{-0.15em}[1,n]\hspace{-0.13em}]$ et $%
\Omega $ l'ensemble des permutations de $E_{n}$.
Pour tout ensemble fini $A$, on note $\func{card}(A)$ son cardinal, c'est-à%
-dire le nombre de ses éléments.
On note $\tbinom{n}{k}$, ou $C_{n}^{k}$ le nombre $\left\{
\begin{tabular}{cl}
${\dfrac{n!}{k!(n-k)!}}$ & si $0\leqslant k\leqslant n$ \\
$0$ & sinon%
\end{tabular}%
\right. $
\section*{Partie I}
Pour tout $\omega \in \Omega $, on appelle \textit{point fixe} de $\omega $,
tout élément $k\in E_{n}$ tel que $\omega (k)=k$.\newline
On appelle \textit{dérangement} toute permutation $\omega \in \Omega $ telle
que pour tout $k\in E_{n}$, $\omega (k)\not=k$. Ainsi un dérangement est une
permutation sans point fixe.\newline
On note $D_{n,0}=\{\omega \in \Omega $\ $/\;\forall i\in E_{n},\;\omega
(i)\not=i\}$, et pour tout $k\in E_{n}$
\begin{equation*}
D_{n,k}=\{\omega \in \Omega \ /\;\omega \;\text{admet exactement }k\text{
points fixes}\}
\end{equation*}%
Enfin, on note $d_{n,0}=\func{card}(D_{n,0})$ et pour tout $k\in E_{n},\quad
d_{n,k}=\func{card}(D_{n,k})$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que
\begin{equation*}
D_{n,k}=\bigcup\limits_{\QATOP{I\subset E_{n}}{\func{card}(I)=k}}\{\omega
\in \Omega \;/\;\omega |_{I}=\func{Id}\quad \text{et}\quad \omega
|_{E_{n}\setminus I}\;\text{ est un dérangement}\}
\end{equation*}%
où $\omega |_{I}$ est la restriction de la permutation $\omega $ à $I$, $%
\func{Id}$ représente la permutation identité, et $\omega |_{E_{n}\setminus
I}$ est la restriction de la permutation $\omega $ au complémentaire de $I$.
\item En déduire que pour tout $k\in E_{n},\quad d_{n,k}=\tbinom{n}{k}%
d_{n-k,0}$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Soit $\omega \in \Omega $ un dérangement de $E_{n}$. Soit $j\in
\lbrack \hspace{-0.15em}[1,n]\hspace{-0.13em}]$. On définit l'application $%
\widetilde{\omega _{j}}$ sur $E_{n+1}$ par
\begin{equation*}
\widetilde{\omega _{j}}(k)=\left\{
\begin{tabular}{ccl}
$\omega (k)$ & si & $k\not\in \{j,..,n+1\}$ \\
$n+1$ & si & $k=j$ \\
$\omega (j)$ & si & $k=n+1$%
\end{tabular}%
\right.
\end{equation*}%
Montrer que l'on définit ainsi un dérangement de $E_{n+1}$.
\item Soit $\omega \in \Omega $ admettant un unique point fixe $j\in \lbrack
\hspace{-0.15em}[1,n]\hspace{-0.13em}]$. \newline
Montrer que $\widetilde{\omega _{j}}$ défini ci-dessus est un dérangement de
$E_{n+1}$.
\item Montrer que les dérangements de $E_{n+1}$ construits dans les
questions 3.a) et 3.b) sont distincts, et que tout dérangement de $E_{n+1}$
peut être obtenu de cette façon.
\item En déduire que%
\begin{equation*}
d_{n+1,0}=nd_{n,0}+d_{n,1}=n(d_{n,0}+d_{n-1,0}).
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item Pour tout $n\geqslant 2$, on pose%
\begin{equation*}
u_{n}=d_{n,0}-nd_{n-1,0}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$, puis $u_{n}$ en fonction
de $n$.
\item En déduire que
\begin{equation*}
d_{n,0}=nd_{n-1,0}+(-1)^{n}.
\end{equation*}
\item On pose $v_{1}=0$ et pour $n\geqslant 2$, $v_{n}={\dfrac{d_{n,0}}{n!}}$%
. \newline
Déterminer $v_{n}$ en fonction de $n$, puis montrer que
\begin{equation*}
d_{n,0}=n!(\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{k!})
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Partie II}
Afin de lancer un nouveau produit sur le march\'e, le service marketing
d'une entreprise propose au directeur g\'en\'eral la campagne suivante
\begin{itemize}
\item mettre en vente au prix unitaire de $b$ Euros, $n$ exemplaires du
produit,
\item chaque exemplaire sera numéroté de façon apparente d'un nombre compris
entre $1$ et $n$,
\item à l'intérieur de chaque exemplaire du produit, et de façon cachée, se
trouve un second numéro,
\item l'acheteur qui trouvera à l'intérieur de l'exemplaire un numéro
identique à celui figurant à l'extérieur gagnera $B$ Euros.
\end{itemize}
\noindent On suppose que les numéros cachés sont tous différents, compris
entre $1$ et $n$ et sont choisis au hasard.\newline
Avant de donner son accord, le directeur général souhaite étudier le "coût"\
d'une telle campagne.\newline
Afin de formaliser la notion de choix au hasard, et pour toute la suite du
problème, on munit $(\Omega ,P(\Omega ))$ de la probabilité uniforme discrè%
te $P$ définie pour tout $A\subseteq \Omega $ par
\begin{equation*}
P(A)=\dfrac{\func{card}(A)}{\func{card}(\Omega )}
\end{equation*}%
Enfin, on note $X_{n}$ la variable aléatoire représentant le nombre de
gagnants.
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item En utilisant les résultats de la première partie, déterminer la loi de
$X_{n}$.
\item Établir les égalités suivantes
\begin{equation*}
\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}\sum\limits_{i=0}^{n-k}\dfrac{(-1)^{i}}{i!}%
=\sum\limits_{i=0}^{n}\dfrac{(-1)^{i}}{i!}\sum\limits_{k=0}^{n-i}\dfrac{1}{k!%
}=1
\end{equation*}%
(on justifiera de manière précise l'interversion des deux signes sommes)
\end{enumerate}
\item Calculer l'espérance $E(X_{n})$ et la variance $V(X_{n})$ de la
variable aléatoire $X_{n}$ (on pourra d'abord calculer $E(X_{n}(X_{n}-1))$ ).
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que le coût aléatoire de l'opération pour l'entreprise est donn%
é par%
\begin{equation*}
C_{n}=nb-BX_{n}
\end{equation*}%
En déduire le coût moyen $E(C_{n})$, ainsi que le \textit{risque}, donné par
l'écart-type $\sigma (C_{n})$.
\item Quelle sera, d'après vous, la réponse du directeur général ?
\end{enumerate}
\item Montrer que le gain aléatoire d'un acheteur ayant acquis un seul
produit est donné par $G_{n}=BY_{n}-b$, où $Y_{n}$ est une variable alé%
atoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $\dfrac{1}{n}$. \newline
En déduire le gain moyen de l'acheteur.
\end{enumerate}
\section*{Partie III}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite des variables aléatoires $(X_{n})$ converge en
loi vers une loi de Poisson de paramètre $\lambda =1$.
\item Montrer que pour tout $k\in E_{n}$
\begin{equation*}
\left\vert P(X_{n}=k)-\dfrac{e^{-1}}{k!}\right\vert =\left\vert \dfrac{1}{k!}%
\sum\limits_{i=n-k+1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{i}}{i!}\right\vert
\end{equation*}
\item Soit $m\in \mathbb{N}^{\times }$. Montrer que
\begin{equation*}
\sum\limits_{i=m}^{\infty }\dfrac{1}{i!}\leqslant \dfrac{1}{m!}%
\sum\limits_{k=0}^{\infty }\dfrac{1}{(m+1)^{k}}\leqslant \dfrac{2}{m!}
\end{equation*}
\item En déduire que
\begin{equation*}
\sum\limits_{k=0}^{n}\left\vert P(X_{n}=k)-\dfrac{e^{-1}}{k!}\right\vert
\leqslant \dfrac{2^{n+2}}{(n+1)!}
\end{equation*}
\item On considère les instructions Pascal suivantes
\texttt{eps := 0.00001;}
\texttt{x:= 2 ; k:=2;}
\texttt{While x \TEXTsymbol{>} eps/2 do begin}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \texttt{x:=x*(2/k) ; k := k+1%
}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \texttt{end;}
\texttt{writeln(k)}
\begin{enumerate}
\item On entre dans la boucle \texttt{While} avec $x=2$. On suppose qu'on
est passé $j\geqslant 1$ fois dans cette boucle.\newline
Quelle est la valeur de $x$ à l'entrée de la boucle la fois suivante ?
\item Montrer que la suite $(u_{n})_{n\geqslant 1}$ définie par $u_{n}=%
\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}$ est décroissante et admet une limite que l'on
calculera.
\item En déduire que la boucle \texttt{While} ci-dessus se termine.
\item La valeur affichée par la dernière ligne du programme est $11$. Que
représente-t-elle ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Partie IV}
Si $X$ est une variable al\'eatoire r\'eelle, on appelle moment factoriel
d'ordre $k\geqslant1$, l'esp\'erance de la variable al\'eatoire $%
X(X-1)\dots(X-k+1)$, soit
\begin{equation*}
m_k(X)=E(X(X-1)\dots (X-k+1))
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $k\geqslant n+1$, alors $m_{k}(X_{n})=0$.
\item Soit $k\in \lbrack \hspace{-0.15em}[0,n]\hspace{-0.13em}]$. Montrer
que
\begin{equation*}
m_{k}(X_{n})=\sum\limits_{j=0}^{n-k}P(X_{n-k}=j)=1
\end{equation*}
\item Soit $Z$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramè%
tre $1$. \newline
Déterminer $m_{k}(Z)$, pour tout $k\in \lbrack \hspace{-0.15em}[0,n]\hspace{%
-0.13em}]$.
\item On définit des polynômes $(P_{k})_{0\leqslant k\leqslant n}$ par
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ll}
$P_{0}(X)=1$ & \\
$P_{k}(X)=X(X-1)\dots (X-k+1)$ & si $k\geqslant 1$%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la famille $(P_{k})_{0\leqslant k\leqslant n}$ forme une
base de $\mathbb{R}_{n}[X]$, espace vectoriel des polynômes à coefficients ré%
els de degré inférieur ou égal à $n$.
\item En déduire que $X_{n}$ et $Z$ ont les mêmes moments d'ordre $k$, pour
tout $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$.
\end{enumerate}
\item Montrer que pour tout $k\in \lbrack \hspace{-0.15em}[0,n]\hspace{%
-0.13em}]$, il existe $(a_{0,k},a_{1,k},\dots ,a_{k,k})$ réels tels que
\begin{equation*}
X^{k}=\sum\limits_{j=0}^{k}a_{j,k}\dfrac{P_{j}(X)}{j!}
\end{equation*}
\item On souhaite désormais calculer les réels $(a_{0,k},a_{1,k},\dots
,a_{k,k})$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\dfrac{P_{j}(i)}{j!}$, pour tout $j\in \lbrack \hspace{%
-0.15em}[0,n]\hspace{-0.13em}]$ et $i\in \mathbb{N}$.
\item Montrer que pour $i\in \lbrack \hspace{-0.15em}[0,k]\hspace{-0.13em}]$,%
\begin{equation*}
i^{k}=\sum\limits_{j=0}^{i}\tbinom{i}{j}a_{j,k}.
\end{equation*}
\item Écrire la matrice $A$ de ce système d'équations.
\item En se plaçant dans l'espace vectoriel $\mathbb{R}_{k}[X]$ des polynô%
mes réels de degré inférieur ou égal à $k$, écrire l'expression de
l'endomorphisme représenté par $A^{T}$ (transposée de la matrice $A$) dans
la base canonique.
\item Montrer que $A^{T}$ est inversible et déterminer son inverse.
\item En déduire que la matrice $A$ est inversible. \newline
Déterminer $A^{-1}$, puis l'expression de $a_{j,k}$, pour tout $j\in \lbrack
\hspace{-0.15em}[0,k]\hspace{-0.13em}]$.
\item Donner l'expression des moments d'ordre $k$, ($1\leqslant k\leqslant n$%
), de la variable aléatoire $X_{n}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Partie V}
On suppose dans cette partie qu'un acheteur a acquis $\ell $, ($\ell
\geqslant 1$), exemplaires du produit. L'ensemble de ces exemplaires est noté
$L=\{j_{1},j_{2},\dots ,j_{\ell }\}$.\newline
On note $Y_{n}^{\ell }$ la variable aléatoire égale au nombre d'exemplaires
gagnants du produit parmi ces $\ell $ exemplaires achetés.\newline
Enfin, pour tout $i\in E_{n}$, on pose $A_{i}=\{\omega \in \Omega
\;/\;\omega (i)=i\}$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $A\subseteq \Omega $, on note $1_{A}$ la variable aléatoire d%
éfinie par
\begin{equation*}
1_{A}(\omega )=\left\{
\begin{tabular}{cl}
$1$ & si $\omega \in A$ \\
$0$ & sinon%
\end{tabular}%
\right.
\end{equation*}%
Justifier l'égalité
\begin{equation*}
Y_{n}^{\ell }=1_{A_{j_{1}}}+1_{A_{j_{2}}}+\cdots +1_{A_{j_{\ell }}}
\end{equation*}%
En déduire l'espérance $E(Y_{n}^{\ell })$ de la variable aléatoire $%
Y_{n}^{\ell }$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que
\begin{equation*}
(Y_{n}^{\ell })^{2}=\sum\limits_{i=1}^{\ell
}1_{A_{j_{i}}}+\sum\limits_{1\leqslant i\not=j\leqslant \ell
}1_{A_{j_{i}}\cap A_{j_{k}}}
\end{equation*}
\item En déduire la variance de la variable aléatoire $Y_{n}^{\ell }$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que le gain de l'acheteur est égal à $G_{n}=BY_{n}^{\ell
}-b\ell $.
\item Déterminer son gain moyen, ainsi que l'écart type de ce gain.
\item Du point de vue de l'acheteur, est-il intéressant d'acquérir plusieurs
exemplaires du produit ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}