%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
%TCIMACRO{%
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\end{center}
\fi
%EndExpansion
{\small CHAMBRE DE\ COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS}
\textbf{DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT}
Direction des Admissions et concours
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
{\Large ECOLE DES\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES}
{\Large E.S.C.P.-E.A.P.}
{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ LYON}{\large \bigskip }
CONCOURS D'ADMISSION\ SUR\ CLASSES\ PREPARATOIRES
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\textbf{OPTION ECONOMIQUE\bigskip }
{\Large MATHEMATIQUES II\bigskip }
\textbf{Année 1983\bigskip }
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document :
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent \textsl{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \textsl{\hrulefill \bigskip }
\end{quotation}
\noindent Pour tout entier naturel non nul $n$, on d{é}signe par $f_{n}$, $%
g_{n}$ et $h_{n}$ les fonctions num{é}riques d{é}finies sur $\mathbb{R}$ par
les relations :
\begin{equation*}
f_{n}(x)={\dfrac{1}{(1+x+x^{2})^{n}}},\qquad g_{n}(x)={\dfrac{x}{%
(1+x+x^{2})^{n}}},\qquad h_{n}(x)={\dfrac{x^{2}}{(1+x+x^{2})^{n}}}
\end{equation*}
\section*{PARTIE\ I}
\begin{enumerate}
\item Etudier la variation des fonctions $f_{1}$, $g_{1}$ et $h_{1}$.
Dresser les tableaux de variation de ces fonctions. Construire leurs courbes
repr{é}sentatives dans un m{ê}me rep{è}re orthonormal.
\item D{é}terminer les nombres de points d'inflexion de ces courbes (ce qui
revient {à} d{é}terminer les nombres de points o{ù} la d{é}riv{é}e seconde
s'annule en changeant de signe). Calculer les coordonn{é}es des points
d'inflexion et les pentes des tangentes en ces points a $10^{-2}$ pr{è}s.
\end{enumerate}
\section*{PARTIE\ II}
On pose :
\begin{equation*}
I_{n}=\int\limits_{0}^{1}f_{n}(t)dt,\qquad
J_{n}=\int\limits_{0}^{1}g_{n}(t)dt,\qquad
K_{n}=\int\limits_{0}^{1}h_{n}(t)dt
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout {é}l{é}ment $x$ de $[0,1]$,
\begin{equation*}
1-x\leqslant {\dfrac{1}{1+x+x^{2}}}\leqslant {\dfrac{1}{1+x}}
\end{equation*}
\item En d{é}duire que, pour tout entier naturel $n$ tel que $n\geqslant 2$,
\begin{equation*}
{\dfrac{1}{n+1}}\leqslant I_{n}\leqslant {\dfrac{1}{n-1}}
\end{equation*}%
Trouver un {é}quivalent simple de $I_{n}$. (On dit que les suites $(u_{n})$
et $(v_{n})$ de nombres r{é}els strictement positifs sont {é}quivalentes
lorsque le rapport ${\dfrac{u_{n}}{v_{n}}}$ tend vers $1$ si $n$ tend vers $%
+\infty $).
\item Pour tout entier naturel $n$ tel que $n\geqslant 3$, calculer les int{é%
}grales
\begin{equation*}
\int\limits_{0}^{1}t(1-t)^{n}dt\qquad \text{et}\qquad \int\limits_{0}^{1}{%
\dfrac{t}{(1+t)^{n}}}dt
\end{equation*}%
Trouver un {é}quivalent simple de $J_{n}$.
\item Pour tout entier naturel $n$ tel que $n\geqslant 4$, calculer les int{é%
}grales
\begin{equation*}
\int\limits_{0}^{1}t^{2}(1-t)^{n}dt\qquad \text{et}\qquad \int\limits_{0}^{1}%
{\dfrac{t^{2}}{(1-t)^{n}}}dt
\end{equation*}%
Trouver un {é}quivalent simple de $K_{n}$.
\end{enumerate}
\section*{PARTIE\ III}
On conserve les notations pr{é}c{é}dentes.
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_{1}$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$,
\begin{equation*}
I_{n+1}={\dfrac{2(2n-1)}{3n}}I_{n}+{\dfrac{1}{n}}\left( {\dfrac{1}{3^{n}}}-{%
\dfrac{1}{3}}\right)
\end{equation*}%
Calculer $I_{2}$, $I_{3}$, et $I_{4}$. On donnera le r{é}sultat sous la
forme $a+b\pi \sqrt{3}$, o{ù} $a$ et $b$ sont des nombres rationnels que
l'on exprimera sous forme r{é}duite ; on donnera ensuite des valeurs approch{%
é}es de ces int{é}grales {à} $10^{-3}$ pr{è}s.
\item Exprimer $J_{n}$ et $K_{n}$ en fonction de $I_{n}$. En d{é}duire les
valeurs de $J_{n}$ et de $K_{n}$ lorsque $n=1$, $n=2$ et $n=3$. On donnera
ces valeurs approch{é}es {à} $10^{-3}$ pr{è}s.
\end{enumerate}
\section*{PARTIE\ IV}
On consid{è}re les int{é}grales impropres
\begin{equation*}
I_{n}^{\prime }=\int\limits_{0}^{+\infty }f_{n}(t)dt,\qquad J_{n}^{\prime
}=\int\limits_{0}^{+\infty }g_{n}(t)dt,\qquad K_{n}^{\prime
}=\int\limits_{0}^{+\infty }h_{n}(t)dt
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item D{é}terminer pour quelles valeurs de $n$ ces int{é}grales sont
convergentes.
\item Dans chacun des cas o{ù} elles convergent, calculer $I_{n}^{\prime }$,
$J_{n}^{\prime }$ et $K_{n}^{\prime }$ lorsque $n=1$, $n=2$ et $n=3$.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}