%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
%TCIMACRO{%
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\end{center}
\fi
%EndExpansion
{\small CHAMBRE DE COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS}
\textbf{DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT}
Direction des Admissions et concours
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
{\Large ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES}
{\Large E.S.C.P.-E.A.P.}
{\Large ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON}{\large \bigskip }
CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\textbf{OPTION GENERALE\bigskip }
{\Large MATHEMATIQUES II\bigskip }
\textbf{Année 1984\bigskip }
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document :
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent \textsl{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \textsl{\hrulefill \bigskip }
\end{quotation}
Soit $a$ un élément de $\mathbb{R}_{+}$.
\section*{Partie 1}
On désigne par $E_{a}$ l'ensemble des suites réelles $u=(u_{n})_{n\in
\mathbb{N}}$ satisfaisant à la relation de récurrence
\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{N},\quad 4u_{n+3}=4(1+a)u_{n+2}-(1+4a)u_{n+1}+u_{n}
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E_{a}$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel
des suites réelles.
\item En considérant l'application de $E_{a}$ dans $\mathbb{R}^{3}$ qui à
toute suite $u$ associe $(u_{0},u_{1},u_{2})$, calculer la dimension de $%
E_{a}$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Vérifier que l'espace vectoriel $K$ des suites constantes est inclus
dans $E_{a}$.
\item Soit $u$ un élément de $E_{a}$. On considère la suite $v=(v_{n})_{n\in
\mathbb{N}}$ définie par la relation:
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\quad v_{n}=u_{n+1}-u_{n}
\end{equation*}%
Etablir une relation de récurrence (2) satisfaite par $v$, reliant $%
v_{n+2},\;v_{n+1}$ et $v_{n}$.
\item On désigne par $F_{a}$ l'ensemble des suites réelles satisfaisant à la
relation (2). \newline
Montrer que $F_{a}$ est un sous-espace vectoriel de $E_{a}$. Déterminer une
base de $F_{a}$. \newline
On sera amené à distinguer trois cas: $0\leqslant a<1$, $a=1$, $a>1$. Dans
le premier cas, on posera $a=\cos \theta $, avec $0<\theta \leqslant {\dfrac{%
\pi }{2}}$ ; dans le dernier cas, on posera $a={\dfrac{e^{\theta
}+e^{-\theta }}{2}}$, avec $\theta >0$.
\item Montrer qu'il existe une valeur $a_{0}$ de $a$ et une seule, que l'on
calculera, pour laquelle $K$ est inclus dans $F_{a}$.
\item On suppose que $a\not=a_{0}$. Montrer que $E_{a}$ est somme directe de
$K$ et de $F_{a}$. \newline
En déduire, dans chacun des trois cas envisagés au c), une base de $E_{a}$.
\item Montrer que $E_{a}$ contient la suite de terme général $u_{n}=n$.
\newline
En déduire une base de $E_{a_{0}}$.
\end{enumerate}
\item Soit $u$ l'élément de $E_{a}$ déterminé par les conditions initiales:
\begin{equation*}
u_{0}=1-\sqrt{\left\vert a^{2}-1\right\vert }\qquad u_{1}=1\qquad u_{2}=1+%
\dfrac{1}{4}\sqrt{\left\vert a^{2}-1\right\vert }
\end{equation*}%
Calculer $u_{n}$ en fonction de $n$. (On discutera suivant la valeur de $a$%
.) \newline
Etudier la convergence de $u$, et calculer la limite de cette suite,
lorsqu'elle existe.
\end{enumerate}
\section*{Partie 2}
On désigne par $M_{3}(\mathbb{C})$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $3
$ à coefficients complexes et par $I_{3}$ la matrice unité de $M_{3}(\mathbb{%
C})$. On donne la matrice carrée suivante, considérée comme élément de $%
M_{3}(\mathbb{C})$:
\begin{equation*}
M=%
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\dfrac{1}{4}\medskip & -a-\dfrac{1}{4} & a+1%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs propres, réelles ou complexes, de la matrice $M$.
\newline
Lorsque $a\not=1$, on exprimera ces valeurs propres à l'aide du nombre $%
\theta $ introduit dans la partie I.
\item Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles la matrice $M$ est
diagonalisable dans $\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{C})$. \newline
Lorsque $M$ est diagonalisable, trouver une matrice carrée inversible $P$
telle que la matrice $D=P^{-1}MP$ soit diagonale. \newline
Expliciter $D$.
\item Pour tout polynôme $Q=\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}$, on pose $%
Q(M)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}M^{k}$ avec la convention $M^{0}=I_{3}$.%
\newline
On admettra que, pour tout couple $(Q_{1},Q_{2})$ de polynômes, $%
(Q_{l}Q_{2})(M)=Q_{1}(M)Q_{2}(M)$; \newline
on admettra aussi que $\delta _{M}(X)=4X^{3}-4(a+1)X^{2}+(4a+1)X-1$ est un
polynôme annulateur de $M$.\newline
Soit $n$ un nombre entier naturel. Montrer qu'il existe un triplet $(\alpha
_{n},\beta _{n},\gamma _{n})$ de nombres réels et un seul tel que:
\begin{equation*}
M^{n}=\alpha _{n}M^{2}+\beta _{n}M+\gamma _{n}I_{3}
\end{equation*}%
Expliciter ce triplet dans chacun des cas $a={\dfrac{5}{4}}$ et $a=1$.%
\newline
Dans ces deux cas, retrouver le résultat de la question I 3.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}