%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
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\fi
%EndExpansion
{\small CHAMBRE DE\ COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS}
\textbf{DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT}
Direction des Admissions et concours
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
{\Large ECOLE DES\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES}
{\Large E.S.C.P.-E.A.P.}
{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ LYON}{\large \bigskip }
CONCOURS D'ADMISSION\ SUR\ CLASSES\ PREPARATOIRES
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\textbf{OPTION GENERALE\bigskip }
{\Large MATHEMATIQUES I\bigskip }
\textbf{Année 1985\bigskip }
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document :
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent \textsl{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \textsl{\hrulefill \bigskip }
\end{quotation}
\noindent Les parties I et II sont ind{é}pendantes. \bigskip \newline
On d{é}signe par $a$ et $b$ des fonctions {à} valeurs r{é}elles continues
sur l'intervalle $[0,1]$. On suppose que, pour tout {é}l{é}ment $t$ de $%
[0,1] $, $a(t)\geqslant 0$.\newline
L'objet du probl{è}me est d'{é}tudier un proc{é}d{é} d'approximation d'une
fonction $f$ {à} valeurs r{é}elles de classe $C^{4}$ sur $[0,1]$, sachant
que, pour tout {é}l{é}ment $t$ de $[0,1]$,
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ll}
& $f^{\prime \prime }(t)-a(t)f(t)=b(t)$ \\
et & \\
& $f(0)=\lambda ,\qquad f(1)=\mu ,$%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
o{ù} $\lambda $ et $\mu $ sont des nombres r{é}els donn{é}s.\newline
A cet effet, on introduit une subdivision $(t_{0},t_{1},\dots ,t_{n+1})$ {à}
pas constant $h=1/(n+1)$ de l'intervalle $[0,1]$, o{ù} $n$ est un nombre
entier strictement sup{é}rieur {à} $2$. Autrement dit, pour tout nombre
entier naturel $k$ tel que $k\leqslant n+1$, $t_{k}=kh$.\newline
Dans la partie I, on montre que, pour approcher $f$ sur $[0,1]$, il suffit
de conna{î}tre une valeur approch{é}e $u_{k}$ de $f(t_{k})$ en chaque point $%
t_{k}$. Les parties II et III d{é}crivent un algorithme de construction des
valeurs approch{é}es $u_{k}$.\newline
Pour toute fonction $g$ {à} valeurs r{é}elles de classe $C^{p}$ sur
l'intervalle $[0,1]$, on pose :
\begin{equation*}
M_{p}(g)=\sup\limits_{t\in \lbrack 0,1]}\left\vert g^{(p)}(t)\right\vert
\end{equation*}
\section*{PARTIE\ I : Approximation de $f$ par une fonction affine par
morceaux.}
\begin{enumerate}
\item Soient $g$ une fonction {à} valeurs r{é}elles de classe $C^{2}$ sur $%
[0,1]$ et $(\alpha ,\beta )$ un couple d'{é}l{é}ments de $[0,1]$ tel que $%
\alpha <\beta $. On suppose que $g(\alpha )=g(\beta )=0$.
\begin{enumerate}
\item Soit $G$ la fonction d{é}finie sur $[0,1]$ par les relations :
\begin{equation*}
G(t)={\dfrac{g(t)}{t-\alpha }}\quad \text{si}\;t\not=\alpha \qquad \text{et}%
\qquad G(\alpha )=g^{\prime }(\alpha )
\end{equation*}%
Prouver que $G$ est continue, puis qu'elle est de classe $C^{1}$.\newline
Prouver que, pour tout {é}l{é}ment $t$ de $[0,1]$,
\begin{equation*}
\left\vert G^{\prime }(t)\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2}M_{2}(g)
\end{equation*}
\item En conclure que, pour tout {é}l{é}ment $t$ de $[0,1]$,
\begin{equation*}
\left\vert g(t)\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2}\left\vert (t-\alpha
)(t-\beta )\right\vert M_{2}(g)
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item Soit $\psi _{h}$ la fonction d{é}finie sur $[0,1]$ par les conditions
suivantes :
\begin{itemize}
\item pour tout entier $k$ appartenant {à} $[0,n+1]$, $\psi
_{h}(t_{k})=f(t_{k})$ ;
\item pour tout entier $k$ appartenant {à} $[0,n]$, la restriction de $\psi
_{h}$ {à} l'intervalle $[t_{k},t_{k+1}]$ est affine.
\end{itemize}
\noindent Montrer que, pour tout {é}l{é}ment $t$ de $[0,1]$,
\begin{equation*}
\left\vert f(t)-\psi _{h}(t)\right\vert \leqslant {\dfrac{h^{2}}{8}}M_{2}(f)
\end{equation*}
\item Soient enfin $(u_{0},u_{1},\dots ,,u_{n+1})$ une suite de nombres r{é}%
els et $\varphi _{h}$ la fonction d{é}finie sur $[0,1]$ par les conditions
suivantes :
\begin{itemize}
\item pour tout entier $k$ appartenant {à} $[0,n+1]$, $\varphi
_{h}(t_{k})=u_{k}$ ;
\item pour tout entier $k$ appartenant {à} $[0,n]$, la restriction de $%
\varphi _{h}$ {à} l'intervalle $[t_{k},t_{k+1}]$ est affine.
\end{itemize}
\noindent Montrer que, pour tout {é}l{é}ment $t$ de $[0,1]$,
\begin{equation*}
\left\vert f(t)-\varphi _{h}(t)\right\vert \leqslant \dfrac{h^{2}}{2}%
M_{2}(f)\qquad \text{où}\qquad \delta _{h}=\sup\limits_{0\leqslant
k\leqslant n+1}\left\vert f(t_{k})-u_{k}\right\vert
\end{equation*}
\end{enumerate}
\section*{PARTIE\ II : Algorithme de résolution d'un système linéaire.}
Soient $(a_1, a_2,\dots,a_n)$ et $(b_1, b_2,\dots,b_n)$ des suites de
nombres r{\'e}els. On suppose que, pour tout entier $k$ appartenant {\`a} $%
[1,n]$, $a_k\geqslant 2$. On consid{\`e}re le syst{\`e}me d'{\'e}quations lin%
{\'e}aires :
\begin{equation*}
(1)\qquad \left\{
\begin{array}{ccccccccccc}
a_{1}u_{1} & - & u_{2} & & & & & & & = & b_{1} \\
-u_{1} & + & a_{2}u_{2} & - & u_{3} & & & & & = & b_{2} \\
& - & u_{2} & + & a_{3}u_{3} & - & u_{4} & & & = & b_{3} \\
& & \cdots & & \cdots & & & & & & \cdots \\
& & & - & u_{n-2} & + & a_{n-1}u_{n-1} & - & u_{n} & = & b_{n-1} \\
& & & & & - & u_{n-1} & + & a_{n}u_{n} & = & b_{n}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
\medskip
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on peut construire une suite $(c_{1},c_{2},\dots ,c_{n})$
de nombres r{é}els appartenant {à} l'intervalle $]0,1]$, satisfaisant {à} la
condition initiale $c_{1}={\dfrac{1}{a_{1}}}$ et {à} la relation de r{é}%
currence :
\begin{equation*}
c_{k+1}={\dfrac{1}{a_{k+1}-c_{k}}}\qquad \text{où}\quad 1\leqslant
k\leqslant n-1
\end{equation*}
\item Soit $(d_{1},d_{2},\dots ,d_{n})$ la suite de nombres r{é}els d{é}%
finie par la condition initiale $d_{1}=b_{1}c_{1}$ et la relation de r{é}%
currence :
\begin{equation*}
d_{k+1}=(b_{k+1}+d_{k})c_{k+1}\qquad \text{où}\quad 1\leqslant k\leqslant n-1
\end{equation*}%
Montrer que le syst{è}me (1) admet une solution et une seule, et que
celle-ci est d{é}termin{é}e par les relations :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{lc}
u_{n}=d_{n} & \\
u_{k}=d_{k}+c_{k}u_{k+1} & \text{si }1\leqslant k\leqslant n-1%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\item Montrer que si les nombres $b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}$ sont positifs
(au sens large), il en est de m{ê}me pour les nombres $u_{1},u_{2},\dots
,u_{n}$.
\item Dans cette question, on suppose que $b_{1}=b_{2}=\cdots =b_{n}=1$.
Montrer que, pour tout entier naturel $k$ tel que $1\leqslant k\leqslant n$,
\begin{equation*}
0\leqslant u_{k}\leqslant {\dfrac{1}{2}}(n+1)^{2}
\end{equation*}
\item Dans le cas g{é}n{é}ral, montrer que:
\begin{equation*}
\sup\limits_{1\leqslant k\leqslant n}\left\vert u_{k}\right\vert \leqslant
\dfrac{1}{2}(n+1)^{2}\sup\limits_{1\leqslant k\leqslant n}\left\vert
b_{k}\right\vert
\end{equation*}
\end{enumerate}
\section*{PARTIE\ III : Obtention de valeurs approchées de $f$ aux points $%
t_{k}$.}
\begin{enumerate}
\item Soit $t$ un nombre r{é}el tel que $[t-h,t+h]$ soit contenu dans $[0,1]$%
. Montrer que:
\begin{equation*}
\left\vert f(t+h)+f(t-h)-2f(t)-h^{2}f^{\prime \prime }(t)\right\vert
\leqslant \dfrac{h^{4}}{12}M_{4}(f)
\end{equation*}%
{À} cet effet, on pourra introduire la fonction auxiliaire $F$ d{é}finie sur
l'intervalle $[-h,h]$ par la relation :
\begin{equation*}
F(x)=f(t+x)+f(t-x)-2f(t)-x^{2}f^{\prime \prime }(t)
\end{equation*}%
On calculera les d{é}riv{é}es successives de $F$ jusqu'{à} l'ordre $3$ et en
particulier leurs valeurs {à} l'origine, et on majorera $\left\vert
F^{\prime \prime \prime }(x)\right\vert $ {à} l'aide de $M_{4}(f)$.
\item En d{é}duire que, pour tout entier naturel $k$ tel que $1\leqslant
k\leqslant n$,
\begin{equation*}
(2)\qquad -f(t_{k-1}+\left[ 2+h^{2}a(t_{k})\right]
f(t_{k})-f(t_{k+1})=-h^{2}b(t_{k})+\varepsilon _{k},\qquad \text{où}%
\;\left\vert \varepsilon _{k}\right\vert \leqslant \dfrac{h^{4}}{12}M_{4}(f)
\end{equation*}
\item On conna{î}t d{é}j{à} $f(t_{0})=f(0)=\lambda $ et $f(t_{n+1})=f(1)=\mu
$.\newline
Pour approcher $f(t_{1}),f(t_{2}),\dots ,f(t_{n})$, on remplace les
relations (2) par le syst{è}me lin{é}aire :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{lc}
-u_{k-1}+\left( 2+h^{2}a(t_{k})\right) u_{k}-u_{k+1}=-h^{2}b(t_{k}) & \text{%
si }1\leqslant k\leqslant n \\
u_{0}=\lambda \qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=\mu &
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Montrer comment, {à} l'aide de la partie II, on peut construire la suite $%
(u_{0},u_{1},\dots ,u_{n+1})$.
\item Cette suite {é}tant ainsi d{é}finie, {é}tablir que :
\begin{equation*}
\delta _{h}\leqslant {\dfrac{h^{2}}{24}}M_{4}(f)
\end{equation*}%
En conclure que, pour tout {é}l{é}ment $t$ de $[0,1]$ :
\begin{equation*}
\left\vert f(t)-\varphi _{h}(t)\right\vert \leqslant Ah^{2},\quad \text{où}%
\;A=\dfrac{1}{8}M_{2}(f)+\dfrac{1}{24}M_{4}(f)
\end{equation*}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}