%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
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\fi
%EndExpansion
{\small CHAMBRE DE\ COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS}
\textbf{DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT}
Direction des Admissions et concours
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
{\Large ECOLE DES\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES}
{\Large E.S.C.P.-E.A.P.}
{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ LYON}{\large \bigskip }
CONCOURS D'ADMISSION\ SUR\ CLASSES\ PREPARATOIRES
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\textbf{OPTION GENERALE\bigskip }
{\Large MATHEMATIQUES I\bigskip }
\textbf{Année 1988\bigskip }
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document :
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent \textsl{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \textsl{\hrulefill \bigskip }
\end{quotation}
\noindent L'objet du probl{è}me est d'{é}tudier la convergence d'une suite
de polyn{ô}mes d'interpolation d'une fonction $f$, ce qui constitue la
partie III. Dans la partie I, on construit les polyn{ô}mes d'interpolation
de $f$ ; dans la partie II, on explicite un tel polyn{ô}me sur un exemple.
\section*{PARTIE\ I : Interpolation d'une fonction par un polynôme}
Soient $n$ un nombre entier naturel non nul et $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$
une suite de nombres r{é}els distincts. On leur associe les $n$ polyn{ô}mes $%
L_{1},L_{2},\dots ,L_{n}$, d{é}finis pour $1\leqslant j\leqslant n$ par :
\begin{equation*}
L_{j}(x)=\prod\limits_{\substack{ 1\leqslant k\leqslant n \\ k\neq j}}{%
\dfrac{x-x_{k}}{x_{j}-x_{k}}}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $j$ tel que $1\leqslant j\leqslant n$, expliciter le
degr{é} et les racines du polyn{ô}me $L_{j}$. Calculer $L_{j}(x_{j})$.
\item Soit $P$ un polyn{ô}me {à} coefficients r{é}els de degr{é} strictement
inf{é}rieur {à} $n$. On pose :
\begin{equation*}
Q(x)=\sum\limits_{j=1}^{n}P(x_{j})L_{j}(x)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $k$ tel que $1\leqslant k\leqslant n$, calculer $%
Q(x_{k})$.
\item Prouver que $P=Q$.
\end{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction d{é}finie et continue sur un intervalle $I$ de $%
\mathbb{R}$ {à} valeurs r{é}elles. On suppose que, pour tout entier $k$ tel
que $1\leqslant k\leqslant n$, le point $x_{k}$ appartient {à} $I$.\newline
Montrer qu'il existe un polyn{ô}me $P_{f}$ de degr{é} strictement inf{é}%
rieur a $n$ et un seul satisfaisant aux conditions suivantes : pour tout
entier $k$ tel que $1\leqslant k\leqslant n$,
\begin{equation*}
P_{f}(x_{k})=f(x_{k})
\end{equation*}
\end{enumerate}
\section*{PARTIE\ II : Exemples}
\begin{enumerate}
\item On prend $f(x)={\dfrac{64}{x+7}}$ ;$I=[0,36]$ ; $n=3$ ; $%
x_{1}=1,\;x_{2}=9,\;x_{3}=25$.
\begin{enumerate}
\item Expliciter les polyn{ô}mes $L_{1},L_{2},L_{3}$.
\item Calculer le polyn{ô}me $P_{f}$ d{é}fini dans la question \textbf{I.3}.
On v{é}rifiera que le polyn{ô}me $64P_{f}$ est a coefficients dans $\mathbb{Z%
}$.
\end{enumerate}
\item On prend $g(x)={\dfrac{64}{x^{2}+7}};\quad
I=[-6,6],\;n=6;\;x_{1}=-5,\;x_{2}=-3,\;x_{3}=-1,\;x_{4}=1,$ $%
x_{5}=3,\;x_{6}=5$.
\begin{enumerate}
\item Sans nouveaux calculs, expliciter le polyn{ô}me $P_{g}$, (d{é}fini
comme dans la question \textbf{I.3}) {à} l'aide du polyn{ô}me $P_{f}$.
\item Etudier la variation de $P_{g}$ sur l'intervalle $[-6,6]$.
\item Construire, dans le plan rapport{é} il un rep{è}re orthonormal, les
courbes repr{é}sentatives de $g$ et de $P_{g}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{PARTIE\ III : Etude d'une suite de polynômes d'interpolation}
Dans cette partie, on consid{è}re la fonction $f$ d{é}finie sur $[0,1]$ par
la relation :
\begin{equation*}
f(x)={\dfrac{1}{x+\alpha ^{2}}}
\end{equation*}%
o{ù} $\alpha $ est un nombre r{é}el strictement positif.\newline
Les notations {é}tant les m{ê}mes que dans la partie \textbf{I} les points $%
x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ sont donn{é}s par :
\begin{equation*}
x_{k}=\left( {\dfrac{2k-1}{2n}}\right) ^{2}\qquad \text{pour}\;1\leqslant
k\leqslant n
\end{equation*}%
On note $P_{n}$, le polyn{ô}me $P_{f}$ d{é}fini dans la question \textbf{I.3}%
.
\begin{enumerate}
\item \emph{Calcul de }$f(x)-P_{n}(x)$\newline
On pose :\qquad \qquad $A(x)=1-(x+\alpha ^{2})P_{n}(x)$.
\begin{enumerate}
\item V{é}rifier que $A(x)$ est un polyn{ô}me de degr{é} inf{é}rieur ou {é}%
gal $n$, qui admet $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ comme racines.
\item On pose :
\begin{equation*}
Q_{n}(x)=\prod_{k=1}^{n}(x-x_{k})
\end{equation*}%
Montrer qu'il existe un nombre r{é}el $c_{n}$ tel que, pour tout nombre r{é}%
el $x$ :
\begin{equation*}
A(x)=c_{n}Q_{n}(x)
\end{equation*}
\item Prouver finalement que, pour tout nombre r{é}el $x$ :
\begin{equation*}
f(x)-P_{n}(x)={\dfrac{(-1)^{n}Q_{n}(x)}{(x+\alpha
^{2})\prod_{k=1}^{n}(\alpha ^{2}+x_{k})}}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item \emph{Etude d'une fonction auxiliaire}\newline
Soit $h$ la fonction d{é}finie sur $]0,+\infty \lbrack $ par :%
\begin{equation*}
h(x)=\int\limits_{0}^{1}\ln (x^{2}+u^{2})du
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer $h(x)$ {à} l'aide d'une int{é}gration par parties.
\item V{é}rifier que. pour tout nombre r{é}el strictement positif $x$ :
\begin{equation*}
h^{\prime }(x)=\pi -2\arctan x
\end{equation*}
\item Etudier la variation de $h$. Prouver que $h$ se prolonge en une
fonction de classe $C^{\infty }$ sur $[0,+\infty \lbrack $.
\item Montrer qu'il existe un nombre r{é}el $\alpha _{0}$ et un seul tel que
:
\begin{equation*}
0<\alpha _{0}<1\qquad \text{et\qquad }h(\alpha _{0})=2\ln 2-2
\end{equation*}
\item Construire la courbe repr{é}sentative de $h$.
\end{enumerate}
\item \emph{Détermination d'un équivalent de }$c_{n}$
\begin{enumerate}
\item Soient $F$ une fonction de classe $C^{2}$ sur $[0.1]$ et $a$ un {é}l{é}%
ment de l'intervalle $[0,1[$. Pour tout nombre r{é}el $t$ tel que $%
0\leqslant t\leqslant 1-a$, on pose :
\begin{equation*}
G(t)=\int\limits_{a}^{a+1}F(u)du-tF\left( a+{\dfrac{t}{2}}\right)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer $G^{\prime }$ en fonction de $F$ et de $F^{\prime }$.
\item Soit $x$ un {é}l{é}ment de l'intervalle $[0,1-a]$. En appliquant la
formule de Taylor avec reste int{é}gral la fonction $F$ sur l'intervalle $%
\left[ a+{\dfrac{x}{2}},a+x\right] $, {é}tablir que :
\begin{equation*}
\left\vert G^{\prime }(x)\right\vert \leqslant \dfrac{x^{2}}{8}M\qquad \text{%
où}\quad M=\sup\limits_{t\in \lbrack 0,1]}\left\vert F^{\prime \prime
}(t)\right\vert
\end{equation*}
\item En d{é}duire que, pour tout {é}l{é}ment $x$ de l'intervalle $[0,1-a]$
:
\begin{equation*}
\left\vert G(x)\right\vert \leqslant \dfrac{x^{3}}{24}M
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier $k$ tel que $1\leqslant k\leqslant n$ :%
\begin{equation*}
\left\vert \ln (\alpha ^{2}+x_{k})-n\int\limits_{(k-1)/n}^{k/n}\ln (\alpha
^{2}+u^{2})du\right\vert \leqslant \dfrac{1+\alpha ^{2}}{12\alpha ^{4}n^{2}}
\end{equation*}%
A cet effet, on appliquera le r{é}sultat de la question pr{é}c{é}dente, avec
:
\begin{equation*}
F(u)=\ln (\alpha ^{2}+u^{2})\;\quad a={\dfrac{k-1}{n}}\;;\quad x={\dfrac{1}{n%
}}
\end{equation*}
\item Soit $(a_{n})_{n\geqslant 1}$ la suite de terme g{é}n{é}ral :
\begin{equation*}
a_{n}=\prod_{k=1}^{n}(\alpha ^{2}+x_{k})
\end{equation*}%
D{é}duire du \textbf{b.} la limite de la suite $\left( \ln a_{n}-nh(\alpha
)\right) _{n\geqslant 1}$. Obtenir enfin un {é}quivalent simple de la suite $%
(a_{n})_{n\geqslant 1}$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item V{é}rifier que : \qquad $Q_{n}(1)={\dfrac{(4n)!}{2^{4n}n^{2n}(2n)!}}$.
\item On admet l'{é}quivalent (formule de Stirling) :\quad $n!\sim \sqrt{%
2\pi n}\left( {\dfrac{n}{e}}\right) ^{n}$.\newline
D{é}terminer un {é}quivalent simple de la suite $\left( Q_{n}(1)\right)
_{n\geqslant 1}$.
\item D{é}terminer l'ensemble des nombres r{é}els strictement positifs $%
\alpha $ tels que la suite $\left( P_{n}(1)\right) _{n\geqslant 1}$ converge
vers $f(1)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}