%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
%TCIMACRO{%
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\fi
%EndExpansion
{\small CHAMBRE DE\ COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS}
\textbf{DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT}
Direction des Admissions et concours
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
{\Large ECOLE DES\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES}
{\Large E.S.C.P.-E.A.P.}
{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ LYON}{\large \bigskip }
CONCOURS D'ADMISSION\ SUR\ CLASSES\ PREPARATOIRES
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\textbf{OPTION ECONOMIQUE\bigskip }
{\Large MATHEMATIQUES II\bigskip }
\textbf{Année 1993\bigskip }
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document :
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent \textsl{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \textsl{\hrulefill \bigskip }
\end{quotation}
\section*{Partie I}
On établit dans cette partie la démonstration dans un cas particulier de
certains résultats connus, mais souvent admis dans le cours, concernant la
fonction exponentielle.
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Calculer \qquad $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}{\dfrac{\ln (1-x)}{x}}
$.
\item En déduire que : $e^{-1}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left( 1-{%
\dfrac{1}{n}}\right) ^{n}$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ :
\begin{equation*}
e^{-1}=\sum_{k=0}^{n}{\frac{(-1)^{k}}{k!}}+(-1)^{n-1}\int\limits_{0}^{1}{%
\frac{(1-u)^{n}}{n!}}\ e^{-u}\ du
\end{equation*}
\item Etablir l'encadrement : \qquad $0\leqslant \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{%
(1-u)^{n}}{n!}}e^{-u}\ du\leqslant {\dfrac{1}{n!}}$.
\item En conclure que :
\begin{equation*}
e^{-1}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\sum_{k=0}^{n}{\frac{(-1)^{k}}{k!}}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textsl{Dans toute la suite du problème, on désigne par $N$ un nombre entier
naturel non nul.}
\section*{Partie II}
On considère une urne contenant $N$ boules numérotées de 1 à $N$ : $B_{1}$,
$B_{2}$, \dots , $B_{N}$. On effectue $N$ tirages \textbf{avec remise}, en
supposant l'équiprobabilité des résultats. Pour tout entier naturel $i$
compris entre 1 et $N$, on note $X_{i}$ la variable aléatoire prenant la
valeur 1 si la boule $B_{i}$ sort lors du $i^{eme}$ tirage et la valeur $0$
dans le cas contraire. On pose :
\begin{equation*}
S_{N}=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{N}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'espérance de $X_{i}$. En déduire celle de $S_{N}$.
\item Pour tout entier naturel $k$, on note $P(N,k)$ la probabilité de l'évé%
nement $S_{N}=k$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P(N,k)=0$ lorsque $k>N$ et que :
\begin{equation*}
P(N,k)=C_{N}^{k}\left( 1-{\frac{1}{N}}\right) ^{N-k}{\frac{1}{N^{k}}}\qquad
\text{si}\qquad 0\leqslant k\leqslant N
\end{equation*}
\item \label{lim}Le nombre entier naturel $k$ étant fixé, déterminer la
limite de $P(N,k)$ lorsque $N$ tend vers $+\infty $.\newline
On commencera par traiter les cas $k=0$, $k=1$ et $k=2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Partie III}
On considère un ensemble $E_{N}$ à $N$ éléments. Soit $s$ une permutation de
$E_{N}$, c'est à dire une bijection de $E_{N}$ sur lui-même. On appelle
point fixe de $s$ tout élément $a$ de $E_{N}$ tel que $s(a)=a$.\newline
Pour tout entier $p$ tel que $0\leqslant p\leqslant N$, on note $F(N,p)$ le
nombre de permutations de $E_{N}$ qui ont exactement $p$ points fixes. On
convient que $F(0,0)=1$.
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F(N,N)=1$ et $F(N,N-1)=0$
\item Montrer que $\sum\limits_{k=0}^{N}F(N,k)=N!$
\end{enumerate}
\item On pose $\omega _{N}=F(N,0)$. ainsi $\omega _{N}$ est le nombre de
permutations de $E_{N}$ qui n'ont aucun point fixe. On convient que $\omega
_{0}=1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre entier $k$ tel que $0\leqslant
k\leqslant N$ :
\begin{equation*}
F(N,k)=C_{N}^{k}\ \omega _{N-k}
\end{equation*}
\item En déduire que :
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{N}{\dfrac{1}{k!}}\ {\dfrac{\omega _{n-k}}{(N-k)!}}=1
\end{equation*}
\item En raisonnant par récurrence, établir la relation :
\begin{equation*}
{\dfrac{\omega _{N}}{N!}}=\sum_{k=0}^{N}{\dfrac{(-1)^{k}}{k!}}
\end{equation*}
\item Déterminer la limite de ${\dfrac{\omega _{N}}{N!}}$ lorsque $N$ tend
vers $+\infty $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textsl{On suppose désormais $N \ge 2$.}
\section*{Partie IV}
On considère à nouveau une urne contenant $N$ boules numérotées de 1 à $N$
: $B_{1}$, $B_{2}$, \dots , $B_{N}$. On effectue $N$ tirages aléatoires,
cette fois \textbf{sans remise}. Pour tout entier naturel $i$ compris entre
1 et $N$, on note $Y_{i}$ la variable aléatoire prenant la valeur 1 si la
boule $B_{i}$ sort lors du $i^{eme}$ tirage et la valeur $0$ dans le cas
contraire.
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'espérance de $Y_{i}$ et celle de $Y_{i}Y_{j}$ où $%
1\leqslant iN$. Montrer que :
\begin{equation*}
q(N,k)={\dfrac{\omega _{N-k}}{k!(N-k)!}}\qquad \text{si }k\leqslant N
\end{equation*}
\item Le nombre entier naturel $k$ étant fixé, déterminer la limite de $%
q(N,k)$ lorsque $N$ tend vers $+\infty $.\newline
Comparer ce résultat à celui de la question \textbf{II.}\ref{lim}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}