%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
%TCIMACRO{%
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%EndExpansion
{\small CHAMBRE DE\ COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS}
\textbf{DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT}
Direction des Admissions et concours
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
{\Large ECOLE DES\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES}
{\Large E.S.C.P.-E.A.P.}
{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ LYON}{\large \bigskip }
CONCOURS D'ADMISSION\ SUR\ CLASSES\ PREPARATOIRES
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\textbf{OPTION GENERALE\bigskip }
{\Large MATHEMATIQUES I\bigskip }
\textbf{Année 1995\bigskip }
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document :
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent \textsl{Seule l'utilisation d'une régle graduée est autorisée.}
\noindent \textsl{\hrulefill \bigskip }
\end{quotation}
\noindent Ce problème a pour objet l'étude d'endomorphismes de l'espace
vectoriel $\mathbb{R}^{m}$ (où le nombre entier $m$ est supérieur ou égal à
2) vérifiant certaines relations.\newline
Dans toute la suite, si $f$ désigne un tel endomorphisme et $k$ un entier
strictement positif, on note $f^{k}$ la composée $\underset{\text{$k$ fois}}{%
\underbrace{f\circ f\ldots \circ f}}$. Enfin on désigne par $I$
l'application identité de $\mathbb{R}^{m}$ et par $I_{m}$ la matrice identité
d'ordre $m$.\newline
On rappelle que l'espace vectoriel $\mathbb{R}^{m}$ est somme directe de
deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ si tout vecteur $x$ de $\mathbb{R}%
^{m}$ peut se décomposer de manière unique sous forme $x=y+z$, avec $y$ et $%
z $ appartenant respectivement à $F$ et $G$. L'application qui à $x$ associe
cet unique vecteur $y$ est le projecteur de $\mathbb{R}^{m}$ sur $F$ dans la
direction $G$.
\section*{Partie I}
On considère dans cette partie un endomorphisme $f$ de l'espace vectoriel $%
\mathbb{R}^{m}$ vérifiant la relation
\begin{equation}
f^{2}=\dfrac{1}{2}(f+I) \label{relationf2}
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Recherche de solutions particuliéres\ de (\ref{relationf2})}.%
\newline
Déterminer les réels $a$ tels que $f=aI$ vérifie (\ref{relationf2}).
\item \textbf{Eude des puissances de }$f$\textbf{\ et de son inversibilité.}%
\newline
\emph{On suppose dans cette question que les endomorphismes }$f$\emph{\ et }$%
I$\emph{\ sont linéairement indépendants. }
\begin{enumerate}
\item Exprimer $f^{3}$ et $f^{4}$ comme combinaison linéaire de $I$ et de $f$%
.\newline
Etablir par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, il existe un
couple $(a_{n},b_{n})$ de nombres réels et un seul tel que : $%
f^{n}=a_{n}f+b_{n}I$\newline
Déterminer $a_{0}$, $b_{0}$, $a_{1}$, $b_{1}$ et exprimer $a_{n+1}$ et $%
b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$ pour $n\in N$.
\item Former une relation entre $a_{n+2}$, $a_{n+1}$ et $a_{n}$ d'une part
et entre $b_{n+2}$, $b_{n+1}$ et $b_{n}$ d'autre part.\newline
En déduire les expressions de $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ pour $%
n\in N$.\newline
Vérifier que $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }a_{n}=\dfrac{2}{3}$ et que $%
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }b_{n}=\dfrac{1}{3}$
\item On convient d'appeler limite de $f^{n}=a_{n}f+b_{n}I$ l'endomorphisme $%
p=\dfrac{2}{3}f+\dfrac{1}{3}I$
Calculer $p^{2}$ et en déduire que $p$ est un projecteur.
\item Prouver que l'endomorphisme $f$ est inversible et exprimer son inverse
$f^{-1}$ comme combinaison linéaire de $f$ et de $I$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Etude des éléments propres de }$f$\textbf{\ et des solutions
de (\ref{relationf2}).}
\begin{enumerate}
\item Soit $\lambda $ une valeur propre de $f$. En appliquant la relation (%
\ref{relationf2})\ à un vecteur propre non nul $x$ de $f$ associé à $\lambda
$, établir que $\lambda $ vérifie l'équation $2\lambda ^{2}-\lambda -1=0$.
En déduire les valeurs propres éventuelles de $f$.
\item On suppose donné un vecteur $x$ de $\mathbb{R}^{m}$ écrit sous la
forme $x=y+z$ avec $y\in \ker (f-I)$ et $z\in \ker (f+\dfrac{1}{2}I)$.%
\newline
Exprimer $f(x)$ à l'aide de $y$ et $z$ puis $y$ et $z$ en fonction de $x$ et
$f(x)$.\newline
En déduire que $R^{m}$ est somme directe de $\ker (f-I)$ et de $\ker (f+%
\dfrac{1}{2}I)$, que $p$ est le projecteur sur $\ker (f-I)$ dans la
direction $\ker (f+\dfrac{1}{2}I)$, et que $f$ est diagonalisable.
\item On pose $r=\dim \ker (f-I)$ ($0\leqslant r\leqslant m$).\newline
Déterminer $f$ lorsque $r=0$ ou $r=m$.\newline
On suppose désormais $00$.\newline
Soit $e_{1}$ un vecteur non nul appartenant à $\ker (3f^{2}+2f+I)$. Montrer
que $(e_{1},f(e_{1}))$ est une famille libre de $\ker (3f^{2}+2f+I)$. En dé%
duire que $\dim \ker (3f^{2}+2f+I)\geqslant 2$.
\item On suppose dans cette question que $m=2$. Ainsi $f$ est-il un
endomorphisme de $\mathbb{R}^{2}$.\newline
Déterminer les dimensions possibles de $\ker (3f^{2}+2f+I)$ et de $\ker (f-I)
$.\newline
En déduire qu'il existe des bases de $R^{2}$ dans lesquelles la matrice de
l'endomorphisme $f$ est :
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1%
\end{pmatrix}%
\qquad \text{ou}\qquad
\begin{pmatrix}
0 & -\dfrac{1}{3}\smallskip \\
1 & -\dfrac{2}{3}%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
Cette dernière matrice est-elle diagonalisable sur le corps $\mathbb{R}$ ?
\item On suppose dans cette question que $\dim \ker (3f^{2}+2f+I)>2$.\newline
Soit $e_{2}$ un vecteur de $\ker (3f^{2}+2f+I)$ tel que la famille $%
(e_{1},f(e_{1}),e_{2})$ soit libre. Montrer que $%
(e_{1},f(e_{1}),e_{2},f(e_{2}))$ est encore une famille libre de $\ker
(3f^{2}+2f+I)$. En déduire que $\dim \ker (3f^{2}+2f+I)\geqslant 4$.
\item On suppose dans cette question que $m=3$. Ainsi $f$ est-il un
endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$.\newline
Déterminer les dimensions possibles de $\ker (3f^{2}+2f+I)$ et de $\ker (f-I)
$.\newline
En déduire qu'il existe des bases de $\mathbb{R}^{3}$ dans lesquelles la
matrice de l'endomorphisme $f$ est :
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{pmatrix}%
\qquad \text{ou}\qquad
\begin{pmatrix}
0 & -\dfrac{1}{3} & 0\smallskip \\
1 & -\dfrac{2}{3} & 0\smallskip \\
0 & 0 & 1%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}%
Cette dernière matrice est-elle diagonalisable sur le corps $\mathbb{R}$ ?
\item Etudier de la même manière le cas $m=4$ en précisant les formes
possibles de la matrice de l'endomorphisme $f$ dans des bases convenables de
$\mathbb{R}^{4}$.
\item On suppose désormais $\dim \ker (3f^{2}+2f+I)>2q$ avec $q$ entier
naturel non nul.\newline
Soit $(e_{1},f(e_{1}),\ldots ,e_{q},f(e_{q}))$ une famille libre de vecteurs
de $\ker (3f^{2}+2f+I)$. On peut donc trouver un vecteur $e_{q+1}$
appartenant à $\ker (3f^{2}+2f+I)$ tel que $(e_{1},f(e_{1}),\ldots
,e_{q},f(e_{q}),e_{q+1})$ soit encore une famille libre.\newline
Montrer que $(e_{1},f(e_{1}),\ldots ,e_{q},f(e_{q}),e_{q+1},f(e_{q+1}))$ est
une famille libre de $\ker (3f^{2}+2f+I)$ et en déduire que la dimension de $%
\ker (3f^{2}+2f+I)$ est paire.
\item On pose $2r=\dim \ker (3f^{2}+2f+I)$ ($0\leqslant 2r\leqslant m)$.
\ldots crire la matrice $M$ de l'endomorphisme $f$ dans une base de $\mathbb{%
R}^{m}$ obtenue par réunion d'une base convenable de $\ker (3f^{2}+2f+I)$ et
d'une base de $\ker (f-I)$.
\item Réciproquement, vérifier que la matrice $M$ obtenue précédemment
satisfait bien la relation $M^{3}=\dfrac{1}{3}(M^{2}+M+I_{m})$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}