%fait par Claude Huet
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\begin{document}
\begin{center}
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\else
\begin{center}
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{D:/abdellah/mes_maths/enseignement/concours_phec/temp/swp/graphics/hec__1.jpg}%
\end{center}
\fi
%EndExpansion
{\small CHAMBRE DE\ COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS}
\textbf{DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT}
Direction des Admissions et concours
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
{\Large ECOLE DES\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES}
{\Large E.S.C.P.-E.A.P.}
{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ LYON}{\large \bigskip }
CONCOURS D'ADMISSION\ SUR\ CLASSES\ PREPARATOIRES
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\textbf{OPTION GENERALE\bigskip }
{\Large MATHEMATIQUES II\bigskip }
\textbf{Année 1995\bigskip }
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document :
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent \textsl{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \textsl{\hrulefill \bigskip }
\end{quotation}
Ce problème est consacré à l'étude de la loi de Pareto (Vilfredo Pareto
1848-1923).\bigskip \newline
La première partie étudie les propriétés de cette loi. On montre ensuite,
sur un exemple, comment elle permet de modéliser de façon très satisfaisante
des phénomènes rencontrés en économie.\newline
La seconde partie est l'étude de l'indice d'inégalité de Gini, d'abord dans
un cadre général, puis dans le cas particulier d'une loi de Pareto.\bigskip
\newline
Toutes les variables aléatoires considérées dans ce problème sont à valeurs r%
éelles.
\section*{PARTIE 1. La loi de Pareto.}
Dans tout le problème $x_{0},C$, et $\alpha $ désignent trois nombres réels v%
érifiant $\alpha >0$ et $x_{0}+C>0$.\medskip \newline
On dit qu'une variable aléatoire réelle $X$ suit une loi de Pareto de paramè%
tres $\alpha $, $x_{0}$ et $C$ si $X$, à valeurs dans $\left[ x_{0};+\infty %
\right[ $, admet pour densité la fonction $f$ définie par :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{llll}
f\left( x\right) & = & 0 & \forall x0$ c'est-à-dire que $W$ admet une densité de probabilité $g$ dé%
finie par :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{llll}
g\left( x\right) & = & 0 & \forall x<0 \\
g\left( x\right) & = & \beta e^{-\beta x} & \forall x\geqslant 0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Soient $k$ un réel strictement supérieur à $1$ et $x_{0}$ un réel
strictement positif.\newline
Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire $T=x_{0}k^{W}$
? Quelle loi reconnaît-on ?
\item Soit une variable aléatoire $X$ suivant $VP\left( \alpha ,x_{0}\right)
$. Déterminer la loi de la variable aléatoire $\sqrt{X}$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Propriété caractéristique de la loi de Pareto.}\newline
Soient une variable aléatoire $X$ de densité $f$, admettant une espérance,
et un nombre réel $x$ tel que $\dint\limits_{x}^{+\infty }f\left( t\right)
\,dt\neq 0$.\newline
On appelle moyenne de $X$ sur $\left[ x;+\infty \right[ $ le nombre réel $%
M_{X}\left( x\right) $ égal à $\dfrac{\dint\limits_{x}^{+\infty }t\,f\left(
t\right) \,dt}{\dint\limits_{x}^{+\infty }f\left( t\right) \,dt}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $M_{X}\left( x\right) >x$.
\item Dans cette question on suppose que la variable $X$ suit $VP\left(
\alpha ,x_{0}\right) $ avec $\alpha >1$. Calculer $M_{X}\left( x\right) $
pour $x\geqslant x_{0}$.
\item Réciproquement soient un réel $x_{0}$ strictement positif et une
variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\left[ x_{0};+\infty \right[ $, de
densité $f$ continue et à valeurs strictement positives sur $\left[
x_{0};+\infty \right[ $, admettant une espérance et telle qu'il existe un ré%
el $k>1$ tel que : $\forall x\geqslant x_{0}\;M_{X}\left( x\right) =kx$.%
\newline
On se propose d'établir que $X$ suit une loi de Pareto à deux paramètres.%
\newline
On pose, pour $x\geqslant x_{0},$ $G\left( x\right)
=\dint\limits_{x}^{+\infty }f\left( t\right) \,dt$ et $H\left( x\right)
=\dint\limits_{x}^{+\infty }t\,f\left( t\right) \,dt$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $G$ et $H$ sont dérivables sur $\left[ x_{0};+\infty %
\right[ $ et calculer leur dérivée.
\item Prouver que $G\left( x\right) =\dfrac{1-k}{k}xG^{\prime }\left(
x\right) $ pour $x\geqslant x_{0}$.
\item Pour $x\geqslant x_{0}$, on pose $I\left( x\right) =x^{\tfrac{k}{k-1}%
}G\left( x\right) $. Calculer $I^{\prime }\left( x\right) $ et en déduire la
valeur de $G\left( x\right) .$
\item En déduire que $X$ suit $VP\left( \dfrac{k}{k-1},x_{0}\right) $.
\end{enumerate}
\item Soient un nombre réel $x_{0}$ et une variable aléatoire $X$ à valeurs
dans $\left[ x_{0};+\infty \right[ $, de densité $f$ continue et à valeurs
strictement positives sur $\left[ x_{0};+\infty \right[ $, admettant une espé%
rance.
\begin{enumerate}
\item Soient un réel $\lambda $ et la variable aléatoire $Y=X+\lambda $.%
\newline
Prouver que : $M_{Y}\left( y\right) =M_{X}\left( y-\lambda \right) +\lambda $%
.
\item On suppose dans cette question que $X$ suit $VP\left( \alpha
,x_{0},C\right) $ avec $\alpha >1$.\newline
Exprimer $M_{X}\left( x\right) $ en fonction de $x$ pour $x\geqslant x_{0}$.
\item Réciproquement on suppose qu'il existe deux réels $h$ et $k$ vérifiant
$k>1$ et $x_{0}+\dfrac{h}{k-1}>0$ tels que : \newline
$M_{X}\left( x\right) =kx+h$ pour tout réel $x\geqslant x_{0}$.\newline
Soit la variable aléatoire $Y=X+\dfrac{h}{k-1}$.Calculer $M_{Y}\left(
y\right) $ pour $y\geqslant x_{0}+\dfrac{h}{k-1}$.\newline
En déduire la loi de $Y$.\newline
Montrer enfin que la variable $X$ suit $VP\left( \dfrac{k}{k-1},x_{0},\dfrac{%
h}{k-1}\right) $.
\end{enumerate}
\item \textbf{Un exemple statistique : la répartition des revenus.}\newline
Des statistiques provenant de la Direction Générale des Impôts indiquent,
pour l'année 1988, la répartition des revenus d'environ 25\thinspace
000\thinspace 000 de contribuables. On note :\newline
$%
\begin{array}{lll}
x & \text{:} & \text{Niveau de revenu en KF (milliers de francs),} \\
1-F\left( x\right) & \text{:} & \text{Proportion de contribuables ayant un
revenu strictement supérieur à }x\text{,} \\
M\left( x\right) & \text{:} & \text{Revenu moyen des contribuables ayant un
revenu strictement supérieur à }x\text{,}%
\end{array}%
$\newline
et on dispose du tableau suivant :%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$x$ & $1-F\left( x\right) $ & $M\left( x\right) $ \\ \hline\hline
$\qquad 500\qquad $ & $\qquad 0.006\qquad $ & $\qquad 860\qquad $ \\ \hline
$250$ & $0.027$ & $434$ \\ \hline
$200$ & $0.046$ & $345$ \\ \hline
$150$ & $0.095$ & $256$ \\ \hline
$125$ & $0.145$ & $215$ \\ \hline
$100$ & $0.226$ & $177$ \\ \hline
$80$ & $0.323$ & $151$ \\ \hline
$60$ & $0.458$ & $127$ \\ \hline
$40$ & $0.658$ & $104$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Ces données sont représentées dans les graphiques \textbf{1} et \textbf{2}
figurant sur la page 6 de l'énoncé. Ces graphiques ne sont pas à reproduire
sur la copie.
\item[1.] Le graphique \textbf{1} représente les points d'abscisse $x$ et
d'ordonnée $M\left( x\right) $ pour les valeurs $x$ du tableau.\newline
Une étude statistique permet d'estimer que ce nuage de points peut être modé%
lisé par une droite $D$ (figurant sur le graphique).
\begin{enumerate}
\item Lire, sur le graphique, le coefficient directeur de $D$.
\item Expliquer pourquoi on peut modéliser la distribution des revenus par
une loi de Pareto à trois paramètres $VP\left( \alpha ,x_{0},C\right) $.
\item Donner, d'après le graphique, une valeur approchée de $\alpha $ et de $%
C$.
\item Sachant que le revenu moyen de tous les contribuables est $\overline{M}%
=75$ KF donner, à l'aide du graphique, une valeur approchée de $x_{0}$.
\end{enumerate}
\item[2.] Le graphique \textbf{2} représente les points d'abscisse $\ln
\left( x+C\right) $ et d'ordonnée $\ln \left( 1\,000\left( 1-F\left(
x\right) \right) \right) $ pour les valeurs $x$ du tableau.\newline
(On rappelle que $\ln $ désigne la fonction logarithme népérien).\newline
Une étude statistique permet d'estimer que ce nuage de points peut être modé%
lisé par une droite $\Delta $ (figurant sur le graphique).
\begin{enumerate}
\item Lire, sur le graphique, le coefficient directeur de $\Delta $.
\item Expliquer pourquoi cela confirme la modélisation de la distribution
des revenus par une loi de Pareto à trois paramètres.
\item Retrouver ainsi une valeur approchée de $\alpha $ et de $x_{0}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{\textbf{PARTIE II. Courbe de concentration et inégalité des
revenus.}}
La courbe de concentration est une courbe statistique introduite par Lorentz
et développée par Gini pour rendre compte de l'inégalité de la distribution
des revenus.\newline
On désigne par $F_{x}$ la proportion des individus d'une population donnée
ayant un revenu inférieur ou égal à $x$ et par $Q_{x}$ le quotient de la
masse des revenus de ces mêmes individus par la masse totale des revenus de
la population.\newline
On appelle courbe de concentration la représentation graphique de la
fonction donnant $Q_{x}$ en fonction de $F_{x}$.\medskip \newline
Dans toute la suite du problème, $X$ est une variable aléatoire qui repré%
sente le revenu d'un individu de cette population.\medskip \newline
Dans la partie \textbf{A}, on montre, dans le cas général, l'existence de la
courbe de concentration et on étudie ses propriétés.\newline
Dans la partie \textbf{B}, on étudie le cas particulier où la variable alé%
atoire $X$ suit une loi de Pareto.
%TCIMACRO{%
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%\renewcommand\theenumii{\arabic{enumii}}
%\renewcommand\theenumiii{\alph{enumiii}}
%\renewcommand\labelenumi{\theenumi .}
%\renewcommand\labelenumii{\theenumii.}
%\renewcommand\labelenumiii{\theenumiii )}}}%
%BeginExpansion
\renewcommand\theenumi{\Alph{enumi}}
\renewcommand\theenumii{\arabic{enumii}}
\renewcommand\theenumiii{\alph{enumiii}}
\renewcommand\labelenumi{\theenumi .}
\renewcommand\labelenumii{\theenumii.}
\renewcommand\labelenumiii{\theenumiii )}%
%EndExpansion
\begin{enumerate}
\item \textbf{Courbe de concentration et indice de Gini.}\newline
On désigne par $x_{0}$ un nombre réel strictement positif et on suppose que
la variable aléatoire $X$, à valeurs dans $\left[ x_{0};+\infty \right[ $,
admet une densité $f$, continue et à valeurs strictement positives sur $%
\left[ x_{0};+\infty \right[ $, et possède une espérance $E\left( X\right) $.%
\newline
On pose, pour $x\geqslant x_{0}$, $F\left( x\right)
=\dint\limits_{x_{0}}^{x}f\left( t\right) \,dt$ et $Q\left( x\right) =\dfrac{%
1}{E\left( X\right) }\dint\limits_{x_{0}}^{x}t\,f\left( t\right) \,dt$.
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que la restriction de $F$ à $\left[ x_{0};+\infty \right[ $
admet une application réciproque notée $F^{-1}$.\newline
Quel est le domaine de définition de $F^{-1}$ ?
\item On pose $C=Q\circ F^{-1}$.\newline
Montrer que $C$ se prolonge en une fonction continue strictement croissante
de $\left[ 0;1\right] $ dans lui-même.\newline
Déterminer $C\left( 0\right) $ et $C\left( 1\right) $.\newline
Ainsi la courbe de concentration de $X$ existe bien. C'est la courbe repré%
sentative de $C$ dans un repère orthonormé du plan.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Prouver que $C$ est dérivable sur $\left[ 0;1\right] $ et que $%
C^{\prime }\left( t\right) =\dfrac{F^{-1}\left( t\right) }{E\left( X\right) }
$ pour $t\in \left[ 0;1\right] $.
\item En déduire sans calcul que $C$ est convexe et que la courbe de
concentration de $X$ est située en dessous de la première bissectrice.
\item Déterminer $C^{\prime }\left( 0\right) $ et $\underset{t\rightarrow 1}{%
\lim }C^{\prime }\left( t\right) $.
\item Tracer l'allure de la courbe de concentration en précisant les
tangentes aux deux extrémités.\newline
On appelle indice d'inégalité de Gini de la variable $X$ le réel $I\left(
x\right) $ qui est égal à deux fois l'aire située entre la courbe de
concentration de $X$ et la première bissectrice.\newline
C'est-à-dire : $I\left( X\right) =2\dint\limits_{0}^{1}\left( t-C\left(
t\right) \right) \,dt$.\newline
On estime que plus $I\left( X\right) $ est grand, plus l'inégalité des
revenus est grande.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item \textbf{Application : comparaison de quelques procédures d'imposition
des revenus.}\newline
On suppose, dans toute cette partie, que la variable aléatoire $X$ suit $%
VP\left( \alpha ,x_{0}\right) $ avec $\alpha >1$.
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Calculer $Q\left( x\right) $ pour $x\geqslant x_{0}$.
\item Prouver que $C\left( t\right) =1-\left( 1-t\right) ^{\tfrac{\alpha -1}{%
\alpha }}$ $\forall t\in \left[ 0;1\right] $.
\item Déterminer $\alpha $ si on sait que 30\thinspace \% des individus
ayant les plus hauts revenus se partagent 60\thinspace \% de la masse des
revenus.\newline
Dans la suite $\alpha $ n'est plus supposé égal à cette valeur.
\item Déterminer l'indice d'inégalité de Gini $I\left( X\right) $.
\end{enumerate}
\item On prélève sur tous les revenus un impôt proportionnel au revenu c'est-%
à-dire que, si $Y$ désigne le revenu disponible après imposition, $Y=\left(
1-\lambda \right) X$ avec $\lambda \in \left] 0;1\right[ $.
\begin{enumerate}
\item Calculer $I\left( Y\right) $. On pourra utiliser les résultats de
\textbf{I.A.3}.
\item Quel est l'effet de cette imposition sur l'inégalité des revenus ?
\end{enumerate}
\item On prélève sur tous les revenus un impôt progressif tel que, si $T$ dé%
signe le revenu disponible après imposition, on ait $T=h\sqrt{X}$ ( $h$ dé%
signant un réel positif).
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la partie \textbf{I}, déterminer la loi de $T$ et calculer
$I\left( T\right) $.
\item Quel est l'effet de cette imposition sur l'inégalité des revenus ?
\end{enumerate}
\item On prélève sur tous les revenus un impôt constant $a$, c'est-à-dire
que, si $Z$ désigne le revenu disponible après imposition, $Z=X-a$ avec $%
a\in \left] 0;x_{0}\right[ $.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $Z$.
\item On note $C_{Z}$ la fonction dont le graphe est la courbe de
concentration de $Z$. Montrer que :%
\begin{equation*}
t-C_{Z}\left( t\right) =\dfrac{E\left( X\right) }{E\left( X\right) -a}\left(
t-C\left( t\right) \right) \quad \forall t\in \left[ 0;1\right] .
\end{equation*}
\item En déduire $I\left( Z\right) $.
\item Quel est l'effet de cette imposition sur l'inégalité des revenus ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%TCIMACRO{%
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\else
\begin{figure}[ptb]\begin{center}
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\end{center}\end{figure}%
\fi
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\medskip
\begin{center}
Revenus 1988 - Graphique n${{}^\circ})$ 1\bigskip
\end{center}
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%EndExpansion
\medskip
\begin{center}
Revenus 1988 - Graphique n${{}^\circ})$ 2
\end{center}
\label{fin}
\end{document}