%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
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\fi
%EndExpansion
{\small CHAMBRE DE\ COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS}
\textbf{DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT}
Direction des Admissions et concours
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
{\Large ECOLE DES\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES}
{\Large E.S.C.P.-E.A.P.}
{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ LYON}{\large \bigskip }
CONCOURS D'ADMISSION\ SUR\ CLASSES\ PREPARATOIRES
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\textbf{OPTION ECONOMIQUE\bigskip }
{\Large MATHEMATIQUES III\bigskip }
\textbf{Année 1996\bigskip }
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document :
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent \textsl{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \textsl{\hrulefill \bigskip }
\end{quotation}
\section*{EXERCICE\ I}
Cet exercice a pour objet l'étude d'un espace vectoriel de matrices.
On note $\mathfrak{M}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3
à coefficients réels et on considère les matrices :
\begin{equation*}
I=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) \hspace{1.5cm}J=\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0%
\end{array}%
\right) \hspace{1.5cm}K=\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
On note $\func{Id}$, $j$, $k$ les endomorphismes de $\mathbb{R}^{3}$ repré%
sentés respectivement par ces matrices dans la base canonique de $\mathbb{R}%
^{3}$.
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs propres des matrices $J$ et $K$.
\item Montrer qu'on peut trouver une base de $\mathbb{R}^{3}$ dans laquelle
les endomorphismes $j$ et $k$ sont tous deux diagonalisés. \newline
N.B. L'utilisation de cette base pourra permettre de simplifier la ré%
solution de certaines des questions de la suite.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(I,J,K)$ est une famille libre de l'espace $\mathfrak{M}(%
\mathbb{R})$ .\newline
Dans toute la suite, on note $E$ le sous-espace de $\mathfrak{M}(\mathbb{R})$
engendré par les éléments $I$, $J$ et $K$.
\item Montrer que si $A$ et $B$ sont deux éléments de $E$, leur produit est
aussi dans $E$.
\item Etant donnés trois réels $x$, $y$ et $z$, déterminer les valeurs
propres de la matrice
\begin{equation*}
T=xI+yJ+zK.
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item Montrer qu'il existe trois suites $(a_{n})_{n\geqslant 1}$, $%
(b_{n})_{n\geqslant 1}$ et $(c_{n})_{n\geqslant 1}$ de réels telles que
\begin{equation*}
J^{n}=a_{n}I+b_{n}J+c_{n}K
\end{equation*}%
pour tout $n\geqslant 1$. Donner l'expression du terme général de chacune de
ces suites en fonction de $n$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item On note $(e_{1},e_{2},e_{3})$ la base canonique de l'espace $\mathbb{R}%
^{3}$. on définit une application $\Phi $ de $\mathbb{R}^{3}$ dans $E$ en
posant, pour $V=xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}$,
\begin{equation*}
\Phi (V)=xI+yJ+zK.
\end{equation*}%
Montrer que $\Phi $ est un isomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ sur $E$.
\item Déterminer l'ensemble $H$ des vecteurs $V$ de $\mathbb{R}^{3}$ tels
que $\Phi (V)$ soit une matrice non inversible. L'ensemble $H$ est-il un
sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{3}$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE\ II}
\begin{enumerate}
\item On désigne par $a$ un paramètre réel.\newline
On note $\mathcal{D}_{a}$ l'ensemble des nombres réels $x$ vérifiant les
conditions $x>0$ et $a\sqrt{x}\neq 3$ et on pose, pour tout $x\in \mathcal{D}%
_{a}$,
\begin{equation*}
f_{a}(x)=\frac{3-a}{3-a\sqrt{x}}.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $x\mapsto f_{a}(x)$ est dérivable sur $%
\mathcal{D}_{a}$ et calculer sa dérivée.
\item Etudier, en discutant suivant les valeurs du paramètre $a$, les
variations de la fonction $f_{a}$. On donnera, dans chacun des cas $a<0$, $%
03$ le tableau de variations et l'allure de la courbe repré%
sentative de $f_{a}$.
\item A l'aide des résultats précédents, montrer que, quand $a<0$ et quand $%
a>3$, l'équation $f_{a}(x)=x$ admet une racine unique dans $\mathcal{D}_{a}$.
\end{enumerate}
\item On fixe, dans cette partie, $a=1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f_{1}(x)=x$ admet deux racines : la racine 1
et une racine $\lambda _{1}>1$.
\item Préciser la position relative, dans le plan rapporté à un repère
d'axes $(Ox,Oy)$, de la courbe représentative de la fonction $f_{1}$ et de
la droite d'équation $y=x$.
\item Montrer que, pour tout réel $\alpha $ vérifiant $0<\alpha \leqslant
\lambda _{1}$, la suite $(u_{n})_{n\geqslant 0}$ définie par
\begin{equation*}
u_{0}=\alpha \hspace{0.5cm}\text{et, pour tout entier}\hspace{0.2cm}n,%
\hspace{0.5cm}u_{n+1}=f_{1}(u_{n})
\end{equation*}%
est bien définie.
\item Pour chaque valeur de $\alpha $ ($0<\alpha \leqslant \lambda _{1}$)
montrer que la suite obtenue est monotone et déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\item On revient maintenant au cas plus général où $0