%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
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\fi
%EndExpansion
{\small CHAMBRE DE\ COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS}
\textbf{DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT}
Direction des Admissions et concours
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
{\Large ECOLE DES\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES}
{\Large E.S.C.P.-E.A.P.}
{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ LYON}{\large \bigskip }
CONCOURS D'ADMISSION\ SUR\ CLASSES\ PREPARATOIRES
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\textbf{OPTION ECONOMIQUE\bigskip }
{\Large MATHEMATIQUES III\bigskip }
\textbf{Année 1997\bigskip }
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document :
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent \textsl{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \textsl{\hrulefill \bigskip }
\end{quotation}
\section*{EXERCICE\ I}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ dont la matrice dans la
base canonique $(e_{1},e_{2},e_{3})$%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{ccc}
4 & -5 & 5 \\
3 & -4 & 5 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $-1$ est une valeur propre de $A$ et trouver un vecteur
propre, noté $V$, associé à cette valeur propre.
\item Montrer que $(V,e_{2},e_{3})$ est une base de $\mathbb{R}^{3}$. Donner
la matrice de $f$ dans cette base.
\item Montrer que si $X$ est un vecteur quelconque de $\mathbb{R}^{3}$,
alors $f(X)$ est une combinaison linéaire de $X$ et de $V$. En déduire que,
dans toute base de $\mathbb{R}^{3}$ de la forme $(V,V_{2},V_{3})$ où $V_{2}$
et $V_{3}$ sont des vecteurs de $\mathbb{R}^{3}$ , la matrice de $f$ est la
forme :%
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & a & b \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
où $a$ et $b$ sont des réels.
\end{enumerate}
\item L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?
\item Plus généralement, soit $U_{1}$ un vecteur non nul de $\mathbb{R}^{3}$
et h un endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ ayant la propriété suivante :%
\newline
$(P):$ Pour tout vecteur X de $\mathbb{R}^{3}$, $h(X)$ est une combinaison
linéaire de $X$ et de $U_{1}$.\newline
Soit $(U_{1},U_{2},U_{3})$ une base de $\mathbb{R}^{3}$ obtenue en
adjoignant à $U_{1}$ deux autres vecteurs $U_{2}$ et $U_{3}$.
\begin{enumerate}
\item En appliquant la propriété $(P)$ à trois vecteurs particuliers,
montrer qu'il existe des réels $\alpha $, $\beta $, $\gamma $ tels que :%
\begin{equation*}
h(U_{2})=\alpha U_{1}+\gamma U_{2}\quad \text{et}\quad h(U_{3})=\beta
U_{1}+\gamma U_{3}.
\end{equation*}
\item En déduire que la matrice de h dans la base $(U_{1},U_{2},U_{3})$ est
de la forme%
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda & \alpha & \beta \\
0 & \gamma & 0 \\
0 & 0 & \gamma
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
où $\alpha $, $\beta $, $\gamma $ et $\lambda $ sont des réels.
\item L'endomorphisme $h$ est-il diagonalisable ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE II}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, si $g$ est une fonction réelle définie sur$[0,1]$,
continue et positive sur cet intervalle, la fonction $h$, définie par $%
h(x)=2\int\limits_{0}^{x}\sqrt{g(t)}dt$, est aussi une fonction continue et
positive sur $[0,1].$
\item Compte tenu du résultat précédent, on définit sur $[0,1]$ une suite de
fonctions réelles $(f_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ en posant, pour tout $x\in
\lbrack 0,1]$,
\begin{equation*}
f_{0}(x)=1,\quad \text{et pour tout }n\geqslant 1,\quad
f_{n}(x)=2\int\limits_{0}^{x}\sqrt{f_{n-1}(t)}dt
\end{equation*}%
Calculer $f_{1}$, $f_{2}$ et $f_{3}$.
\item Montrer qu'il existe deux suites de réels $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$
et $(b_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ telles que, pour tout $n\geqslant 0$ et tout $%
x\in \lbrack 0,1]$, on ait : $f_{n}(x)=a_{n}x^{b_{n}}.$\newline
On calculera $b_{n}$ en fonction de $n$ et on écrira une relation de ré%
currence donnant $a_{n}$ en fonction de $a_{n-1}$.
\item Démontrer que, pour tout $n\geqslant 1$, $2^{n}\ln
(a_{n})=-\sum\limits_{k=1}^{n}2^{k}\ln (1-2^{-k}).$
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout$x\in \lbrack 0,1[$, on a : $0\leqslant -\ln
(1-x)-x\leqslant \dfrac{1}{2}\times \dfrac{x^{2}}{1-x}$
\item En déduire que, pour tout $k\geqslant 1$, $\left\vert -2^{k}\ln
(1-2^{-k})-1\right\vert \leqslant 2^{-k}$
\item Montrer que $\ln (a_{n})$ est équivalent à $\dfrac{n}{2^{n}}$quand $n$
tend vers l'infini.
\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x\in \lbrack 0,1]$, la suite $%
(f_{n}(x))_{n\in \mathbb{N}}$ converge et préciser sa limite en fonction de $%
x$.
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE III}
\noindent Un pion est déplacé de manière aléatoire sur un damier de quatre
cases numérotées de 1 à 4. On considère une suite de variables aléatoires, $%
(X_{n})_{n\geqslant 0}$, définies sur un espace probabilisé $(\Omega ,A,P)$,
à valeurs dans l'ensemble $\{1,2,3,4\}$, représentant la position du pion
aux instants successifs : pour $i\in \{1,2,3,4\}$, on a $X_{n}=i$ si le pion
est sur la case $i$ à l'instant $n$.\newline
On note $\pi $$_{ij}$ l'élément situé à la i-ème ligne et à la j-ième
colonne de la matrice
\begin{equation*}
\Pi =\left(
\begin{array}{cccc}
1/4 & 1/4 & 1/4 & 1/4 \\
1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 \\
1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Pour $i$ et $j$ dans $\{1,2,3,4\}$, on suppose que, pour tout $n\geqslant 0$
tel que $P(X_{n}=i)\neq 0$, la probabilité conditionnelle $%
P(X_{n+1}=j/X_{n}=i)$ (probabilité que le pion soit sur la case $j$ à
l'instant $n+1$ sachant qu'il est sur la case $i$ à l'instant $n$) est égale
à $\pi $$_{ij}$.\newline
On note, pour tout $n\geqslant 0$,
\begin{equation*}
p_{n}=P(X_{n}=1),\quad q_{n}=P(X_{n}=2),\quad r_{n}=P(X_{n}=3),\quad
s_{n}=P(X_{n}=4).
\end{equation*}%
Enfin on suppose que le pion est sur la case $1$ à l'instant $n=0$ et donc
que $p_{0}=1$. Si le pion vient sur la case 4 à l'instant $n>0$, il y reste à
l'instant $n+1$, d'où la quatrième ligne de la matrice $\Pi $.
\begin{enumerate}
\item Calculer $p_{1},q_{1},r_{l},s_{1}$ et $p_{2},q_{2},r_{2},s_{2}.$
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Donner, pour tout entier $n\geqslant 0$, l'expression de $%
p_{n+1},q_{n+1},r_{n+1},s_{n+1}$ en fonction de $p_{n},q_{n},r_{n},s_{n}.$
\item En déduire, pour $n\geqslant 1$, les expressions de $p_{n},q_{n},r_{n}$
et $s_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour $n\geqslant 0$, la probabilité conditionnelle $%
P(X_{n+l}=4/X_{n}\neq 4).$
\item Déterminer, pour tout entier $n\geqslant 1$, la probabilité que le
pion passe par la case 4, pour la première fois, à l'instant n. On notera $%
t_{n}$ cette probabilité.
\item Déterminer la probabilité qu'il ne passe jamais par la case 4.
\item Soit T une variable aléatoire définie sur $(\Omega ,A,P)$, à valeurs
dans $\mathbb{N}^{\times }$ et vérifiant, pour tout entier $n\geqslant 1$, $%
P(T=n)=t_{n}$. \newline
Calculer l'espérance et la variance de $T$.
\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le pion ne passe jamais ni par la case 2
ni par la case 3.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que le pion se soit trouvé sur la case 1 à
l'instant $n=1$, sachant qu'il est sur la case 4 à l'instant $n=2$.
\item Plus généralement, soit m et n deux entiers vérifiant $0