%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
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\fi
%EndExpansion
{\small CHAMBRE DE\ COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS}
\textbf{DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT}
Direction des Admissions et concours
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
{\Large ECOLE DES\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES}
{\Large E.S.C.P.-E.A.P.}
{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ LYON}{\large \bigskip }
CONCOURS D'ADMISSION\ SUR\ CLASSES\ PREPARATOIRES
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\textbf{OPTION ECONOMIQUE\bigskip }
{\Large MATHEMATIQUES III\bigskip }
\textbf{Année 1998\bigskip }
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document :
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent \textsl{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \textsl{\hrulefill \bigskip }
\end{quotation}
\section*{EXERCICE I}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Soit $\mu $ un paramètre réel. On considère le système d'équations
$(1)\left\{
\begin{tabular}{l}
$\mu x_{1}+x_{2}\hfill =0$ \\
$3x_{1}+\mu x_{2}+2x_{3}\hfill =0$ \\
$2x_{2}+\mu x_{3}+3x_{4}\hfill =0$ \\
$x_{3}+\mu x_{4}\hfill =0$%
\end{tabular}%
\ \right. $ d'inconnues $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que ce système admet les mêmes solutions que le système $%
(2)\left\{
\begin{tabular}{lcr}
$\mu x_{1}+x_{2}\hfill $ & $=$ & $0$ \\
$x_{3}+\mu x_{4}\hfill $ & $=$ & $0$ \\
$(3-\mu ^{2})x_{1}-2\mu x_{4}$ & $=$ & $0$ \\
$-2\mu x_{1}+(3-\mu ^{2})x_{4}$ & $=$ & $0$%
\end{tabular}%
\ \right. $
\item Résoudre, en discutant suivant les valeurs de $\mu $, le système $%
\quad \left\{
\begin{tabular}{lcr}
$(3-\mu ^{2})x_{1}-2\mu x_{4}$ & $=$ & $0$ \\
$-2\mu x_{1}+(3-\mu ^{2})x_{4}$ & $=$ & $0$%
\end{tabular}%
\ \right. $
\item Déterminer enfin, suivant les valeurs de $\mu $, les solutions du systè%
me (1).
\end{enumerate}
\item D\'eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice
$A=\left(
\begin{tabular}{cccc}
$1$ & $1$ & $0$ & $0$ \\
$3$ & $1$ & $2$ & $0$ \\
$0$ & $2$ & $1$ & $3$ \\
$0$ & $0$ & $1$ & $1$%
\end{tabular}%
\right) .$
\end{enumerate}
\item Pour tout entier $n\geqslant 1$ on note $\mathbb{R}_{n}[x]$
l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou
égal à $n$ et, à toute fonction polynôme $P$ de
$\mathbb{R}_{n}[x]$, on associe la fonction
polynôme $T_{n}P$ définie sur $\mathbb{R}$ par $T_{n}P(x)=(nx+1)%
\,P(x)+(1-x^{2})\,P^{\prime }(x).$
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n\geqslant 1$, l'application
$P\mapsto T_{n}P$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_{n}[x]$.
\item Donner la matrice $M_{n}$ de cet endomorphisme $T_{n}$ dans la base de
$\mathbb{R}_{n}[x]$ formée des fonctions polynômes $1,\;X,\dots \;X^{n}$ où $%
X^{k}$ désigne, pour tout $k\in \{0,1,...,n\}$, la fonction $x\mapsto x^{k}$.
\item Dans le cas $n = 3$, donner les valeurs propres de $T_3$ et \'ecrire
les fonctions polyn\^omes formant une base de vecteurs propres.
\item En faisant la somme des lignes de la matrice $M_n$, d\'eterminer
simplement une valeur propre de $T_n.$
\end{enumerate}
\item On se propose de d\'eterminer plus g\'en\'eralement toutes les valeurs
propres de $T_n$.
\begin{enumerate}
\item Etant donné un réel $\lambda $ calculer, pour $\,-1