%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
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\fi
%EndExpansion
{\small CHAMBRE DE\ COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS}
\textbf{DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT}
Direction des Admissions et concours
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
{\Large ECOLE DES\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES}
{\Large E.S.C.P.-E.A.P.}
{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ LYON}{\large \bigskip }
CONCOURS D'ADMISSION\ SUR\ CLASSES\ PREPARATOIRES
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\textbf{OPTION ECONOMIQUE\bigskip }
{\Large MATHEMATIQUES III\bigskip }
\textbf{Année 2000\bigskip }
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document :
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent \textsl{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \textsl{\hrulefill \bigskip }
\end{quotation}
\section*{Exercice 1}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x>0$ et tout entier naturel $k, $
l'intégrale
\begin{equation*}
\int\limits_{1}^{\infty }\dfrac{t^{k}e^{-xt}}{1+t^{5}}dt
\end{equation*}%
est convergente.
Pour quelles valeurs de l'entier $k$ cette intégralle est-elle aussi
convergente pour $x=0$ ?
\item On se propose d'étudier la fonction $F$ définie, pour $x\geqslant 0, $ par $%
F\left( x\right) =\int\limits_{1}^{\infty }\dfrac{e^{-xt}}{1+t^{5}}dt.$
Montrer que $F$ est une fonction strictement positive, décroissante et que
\begin{equation*}
\lim_{x\longrightarrow +\infty }F\left( x\right) =0
\end{equation*}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $t\geqslant 0,$ tout réel $x\geqslant 0$ et tout ré%
el $h\geqslant 0,$ on a :
\begin{equation*}
\left\vert e^{-t(x+h)}-e^{-tx}+\left. t\right. \left. h\right.
e^{-tx}\right\vert \leqslant \dfrac{t^{2}h^{2}}{2}e^{-tx}
\end{equation*}
\item Montrer de même que, pour tout réel $t\geqslant 0,$ tout
réel $x\geqslant 0$ et tout réel $h\leqslant 0,$ on a :
\begin{equation*}
\left\vert e^{-t(x+h)}-e^{-tx}+\left. t\right. \left. h\right.
e^{-tx}\right\vert \leqslant \dfrac{t^{2}h^{2}}{2}e^{-t(x+h)}
\end{equation*}
\item En déduire que pour tout réel $x\geqslant 0$ et tout réel $h$ tel que $%
x+h\geqslant 0,$ on a :
\begin{equation*}
\left\vert F(x+h)-F(x)+h\int\limits_{1}^{\infty }\dfrac{te^{-xt}}{1+t^{5}}%
dt\right\vert \leqslant \dfrac{h^{2}}{2}\int\limits_{1}^{\infty }\dfrac{t^{2}}{%
1+t^{5}}dt
\end{equation*}
\item Montrer enfin que la fonction $F$ est dérivable sur$\left[ 0,+\infty %
\right[ $ et donner une expression de sa fonction dérivée $F^{\prime }.$
\end{enumerate}
\item Montrer de même que $F^{\prime }$ est dérivable sur $\left[ 0,+\infty %
\right[ $ et que $F"(x)=\int\limits_{1}^{\infty }\dfrac{t^{2}e^{-xt}}{1+t^{5}%
}dt$
\item On se propose de montrer que la fonction $\ln (F)$ est convexe.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels tels
que, pour tout réel $\lambda ,$ on ait l'inégalité : $a\lambda
^{2}+2b\lambda +c\geqslant 0, $ alors, nécessairement,
$ac-b^{2}\geqslant 0.$
\item En déduire que la fonction $\ln (F)$ est une fonction convexe.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice II}
\QTP{Corps du Texte}
On dispose de deux jetons $A$ et $B$ que l'on peut placer dans deux cases $%
C_{0}$ et $C_{1},$ et d'un dispositif permettant de tirer au hasard et de
manière équiprobable, l'une des lettre $a$, $b$ ou $c$. Au début de l'expé%
rience, les deux jetons sont placés dans $C_{0}.$ On procède alors à une sé%
rie de tirages indépendants de l'une des trois lettres $a$, $b$ ou $c$.%
\newline
A la suite de chaque tirage, on effectue l'opération suivante :
\begin{itemize}
\item si la lettre $a$ est tirée, on change le jeton $A$ de case,
\item si la lettre $b$ est tirée, on change le jeton $B$ de case,
\item si la lettre $c$ est tirée, on ne change pas le placement des jetons.
\end{itemize}
\QTP{Corps du Texte}
\noindent On suppose qu'il existe un espaceprobabilisé dont la probabilité
est notée $p$, qui modélise cette expérience et que l'on définit deux suites
de variables aléatoires sur cet espace, $\left( X_{n}\right) _{n\geqslant 0}$ et $%
\left( Y_{n}\right) _{n\geqslant 0}$, décrivant les positions
respactives de $A$ et $B$, en posant : $X_{0}=Y_{0}=0$, et pour
tout entier naturel n non nul, $X_{n}=0$ si à l'issue de la
$n^{i\grave{e}me}$ opération, le jeton $A$ se
trouve dans $C_{0}$ et $X_{n}=1$ s'il setrouve dans $C_{1}$; de même, $%
Y_{n}=0$ si à l'issue de la $n^{i\grave{e}me}$ opération, le jeton $B$ se
trouve dans $C_{0}$ et $Y_{n}=1$ s'il setrouve dans $C_{1}.$
\subsection*{I Simulation}
\QTP{Corps du Texte}
Ecrire un programme en Turbo-Pascal permettant de simuler l'expérience, qui
lira un entier $N$ entré au clavier, représentant le nombre de tirages à
effectuer, et qui affichera à l'écran la liste des couples observés $\left(
X_{n},Y_{n}\right) $ pour $1\le n\le N.$
\QTP{Corps du Texte}
Ce programme utilisera la fonction \texttt{RANDOM }qui renvoie, pour un
argument $m$ de type \texttt{INTEGER}, un nombre entier de l'intervalle $%
\left[ 0,m-1\right] $, tiré au hasard et de manière équiprobable.
\QTP{Corps du Texte}
(Cette fonction doit être initialisé par la commande \texttt{RANDOMIZE})
\subsection*{II Simulation}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Soit n un entier strictement positif. Déterminer la probabilité que, à
l'issue de la $n^{i\grave{e}me}$ opération, le jeton $A$ n'ait jamais quitté
$C_{0}.$
\item Quelle est la proabilité que le jeton $A$ reste indéfiniment dans $%
C_{0}$?
\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à 2, on s'interresse à
l'événement $D_{k}\ :$ à l'issue de la $k^{i\grave{e}me}$ opération, le
jeton $A$ revient pour la première fois dans $C_{0}.$ Déterminer la
probabilité $p\left( D_{k}\right) $.
\item Soit M la matrice
\begin{equation*}
M=\left(
\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs propres de $M$ et donner une base de vacteurs
propres.
\item En déduire l'expression de $M^{n,}$ pour tout entier $n$ strictement
positif.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités $p\left( X_{1}=0\right) $ et $p\left(
X_{1}=1\right) .$
\item Déterminer une matrice $Q$ telle que, pour tout entier naturel $n,$ on
ait l'égalité matricielle :
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{l}
p(X_{n+1}=0) \\
p(X_{n+1}=1)%
\end{array}%
\right) =Q\left(
\begin{array}{l}
p(X_{n}=0) \\
p(X_{n}=1)%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, calculer la matrice $Q^{n}$ et
en déduire la loi de la variable $X_{n}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{III Etude d'un mouvement du couple de jetons $(A,B)$}
\QTP{Corps du Texte}
On suppose que l'on définit sur le même espace probabilisé une suite de
variables aléatoires $\left( W_{n}\right) _{n\geqslant 0}$, à valeurs dans $%
\left\{ 0,1,2,3\right\} $, décrivant les positions des dexu jetons $A$ et $B,
$ en posant :
\QTP{Corps du Texte}
$W_{0}=0,$ et pour tout entier naturel $n$ non nul,
\QTP{Corps du Texte}
$W_{n}=0,$ si à l'issue de la $n^{i\grave{e}me}$ opération, $A$ et $B $ se
trouvent tous les deux dans $C_{0},$
\QTP{Corps du Texte}
$W_{n}=1,$ si à l'issue de la $n^{i\grave{e}me}$ opération, $A$ se trouve
dans $C_{0},$et $B$ dans $C_{1},$
\QTP{Corps du Texte}
$W_{n}=2,$ si à l'issue de la $n^{i\grave{e}me}$ opération, $A$ se trouve
dans $C_{1},$et $B$ dans $C_{0},$
\QTP{Corps du Texte}
$W_{n}=3,$ si à l'issue de la $n^{i\grave{e}me}$ opération, les deux jetons $%
A$ et $B$ se trouvent dans $C_{1}.$
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité$p(W_{1}=i)$ pour $i$ égal à 0, 1, 2 et 3.
\item Déterminer la matrice $R$ telle que, pour tout entier naturel $n,$ on
ait l'égalité matricielle :
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{l}
p\left( W_{n+1}=0\right) \\
p\left( W_{n+1}=1\right) \\
p\left( W_{n+1}=2\right) \\
p\left( W_{n+1}=3\right)
\end{array}%
\right) =R\left(
\begin{array}{l}
p\left( W_{n}=0\right) \\
p\left( W_{n}=1\right) \\
p\left( W_{n}=2\right) \\
p\left( W_{n}=3\right)
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item On considère les matrices :
\begin{equation*}
I=\left(
\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0%
\end{array}
\right) ,U=\left(
\begin{array}{llll}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1%
\end{array}
\right) ,V=\left(
\begin{array}{llll}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0%
\end{array}
\right)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, calculer $U^{n}$ et $V^{n}.$
\item Etablir, pour tout entier naturel non nul $n,$ l'égalité
\begin{equation*}
\left( U-V\right) ^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left( -1\right)
^{k}C_{n}^{k}U^{n-k}V^{k}
\end{equation*}
où par convention on pose : $U^{0}=V^{0}=I.$
\item En déduire, pour tout entier naturel non nul $n,$ l'égalité
\begin{equation*}
\left( U-V\right) ^{n}=\dfrac{1}{4}\left[ 3^{n}-\left( -1\right) ^{n}\right]
U+(-1)^{n}V^{n}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, calculer $R^{n}et$ donner la loi
de la variable $W_{n}.$ (on distinguera les cas $n$ pair et $n$ impair)
\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$ non nul, la covariance de $%
X_{n}$ et $Y_{n}$ et calculer la limite de cette covariance quand $n$ tend
vers +$\infty .$
\end{enumerate}
\subsection*{VI Etude d'un long séjour.}
\QTP{Corps du Texte}
On suppose que chaque tirage, avec l'opération qui le suit, dure une minute.
Ainsi, à lissue de la $n^{i\grave{e}me}$ opération, $n$ minutes se sont écoul%
ées depuis le début de l'expérience.
\QTP{Corps du Texte}
Soit $n$ un entier naturel non nul.
\QTP{Corps du Texte}
On suppose que le nombre de minutes écoulées pendant lesquelles le jeton $A$
a séjourné dans $C_{1}$, entre le début de l'expérience et l'issue de la $%
n^{i\grave{e}me}$ opération, est une variable aléatoire que l'on note $%
T_{n}. $
\begin{enumerate}
\item Exprimer $T_{n}$ à l'aide des variables $X_{k}$, pour $k$ compris
entre 1 et $n.$
\item En dédure l'espérance $E\left( T_{n}\right) $.\newline
Calculer la limite de $\dfrac{1}{n}E\left( T_{n}\right) $ quand $n$ tend
vers l'infini.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}