%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
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%EndExpansion
{\small CHAMBRE DE\ COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS}
\textbf{DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT}
Direction des Admissions et concours
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
{\Large ECOLE DES\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES}
{\Large E.S.C.P.-E.A.P.}
{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ LYON}{\large \bigskip }
CONCOURS D'ADMISSION\ SUR\ CLASSES\ PREPARATOIRES
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\textbf{OPTION SCIENTIFIQUE\bigskip }
{\Large MATHEMATIQUES II\bigskip }
\textbf{Année 2001\bigskip }
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document :
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent \textsl{Seule l'utilisation d'une régle graduée est autorisée.}
\noindent \textsl{\hrulefill \bigskip }
\end{quotation}
\noindent L'objet du probléme est l'étude de quelques aspects de la théorie
classique du risque dont le contexte et les notations sont introduits au fur
et à mesure.\newline
Dans tout le probléme, on considére deux suites de variables aléatoires ré%
elles $(\Delta _{n})_{n\in \mathbb{N}^{\times }}$ et $(C_{n})_{n\in \mathbb{N%
}^{\times }}$, définies sur un même espace probabilisé $(\Omega ,\mathcal{B},%
\mathbf{P})$ , vérifiant les conditions suivantes :
\begin{enumerate}
\item les variables aléatoires $(\Delta _{1},\Delta _{2},\ldots ,\Delta
_{n},\ldots ,C_{1},C_{2},\ldots ,C_{n},\ldots $ sont indépendantes,
\item les variables aléatoires $\Delta _{1},\Delta _{2},\ldots ,\Delta
_{n},\ldots $ sont strictement positives et ont toutes la même densité égale
sur $]0,+\infty \lbrack $ à la densité d'une variable aléatoire
exponentielle d'espérance égale à 1,
\item les variables aléatoires $C_{l},C_{2},\ldots ,C_{n},\ldots $ ont
toutes la même densité qu'une variable aléatoire exponentielle d'espérance é%
gale à $c$.
\end{enumerate}
\noindent On pose $T_{o}=0$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, on
note $T_{n}$ la variable aléatoire définie par :
\begin{equation*}
T_{n}=\sum_{i=1}^{n}\Delta _{i}
\end{equation*}%
\emph{On observera que la suite $(T_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ est strictement
croissante et que, pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité: $\Delta
_{n+l}=T_{n+l}-T_{n}$.}\newline
On notera $E(X)$ l'espérance d'une variable aléatoire $X$ définie sur $%
(\Omega ,\mathcal{B},\mathbf{P})$.
\section*{1ère partie : Etude d'une variable aléatoire}
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel n, déterminer l'espérance et la variance de
la variable aléatoire $T_{n}$.
\item Soit t un réel positif ou nul.
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ strictement supérieur à $t$, justifier
l'inclusion entre événements :
\begin{equation*}
\lbrack T_{n}t])$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, reconnaître la loi de la
variable aléatoire $T_{n}$.
\item Soit t un réel strictement positif. Pour tout entier naturel n non
nul, justifier l'égalité :
\begin{equation*}
1=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{t^{k}e^{-t}}{k!}+e^{-t}\int\limits_{0}^{t}\dfrac{%
(t-u)^{n}}{n!}e^{u}du
\end{equation*}%
En déduire l'égalité: $P([N(t)\leqslant n])=\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{%
t^{k}e^{-t}}{k!}$.
\item Pour tout réel $t$ positif ou nul, reconnaître la loi de la variable al%
éatoire$N(t)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{2ème partie: Etude de la probabilité d'être en déficit aprés le
premier ou le second sinistre}
Dans cette partie on considére deux réels $a$ et $r$, $r$ étant strictement
positif et, pour tout réel positif $t$, on note $K_{a}(t)$ la variable alé%
atoire définie par l'égalité: $Ka(t)=a+rt-\sum\limits_{i=1}^{N(t)}Ci$ en
convenant que la somme $\sum\limits_{i=1}^{N(t)}C_{i}$ est nulle lorsque $%
N(t)$ est nul.\newline
En particulier, $K_{a}(To)=K_{a}(O)=a$ et, pour tout entier naturel $n$ non
nul, puisque $N(T_{n})=n$,
\begin{equation*}
Ka(Tn)=a+rT_{n}-\sum_{i=1}^{N(t)}C_{i}
\end{equation*}%
\emph{\ Par exemple, $K_{a}(t)$ pourrait représenter le capital (aléatoire)
au temps $t$ d'une compagnie d'assurance disposant d'un capital initial (de
montant $a$ éventuellement négatif), percevant des primes (de montant égal à
$r$ par unité de temps), et indemnisant des assurés victimes de sinistres de
co\v{s}ts aléatoires (les $Ci$) survenant à des dates elles-mêmes aléatoires
(les $Ti$) .}\newline
\emph{Dans cette partie}, le réel $a$ étant fixé, la variable aléatoire $%
K_{a}(t)$ sera notée plus simplement $K(t)$.
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Déterminer une densité de probabilité de la variable aléatoire $%
-r\Delta _{1}$.
\item Déterminer une densité de probabilité $f$, continue sur $\mathbb{R}$,
de la variable aléatoire $L_{1}=C_{1}-r\Delta _{1}$.
\item En déduire l'expression de la fonction de répartition $F$ de la
variable $L_{1}$ puis l'égalité :
\begin{equation*}
\mathbf{P}([K(T_{1})<0])=\left\{
\begin{array}{ll}
1-\dfrac{r}{c+r}\exp (\dfrac{a}{r}) & \text{ si }a\leqslant 0 \\
\dfrac{c}{c+r}\exp (\dfrac{-a}{c}) & \text{ si }a>0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item On pose $L_{2}=C_{2}-r\Delta _{2}$ et on considére la fonction $g$
associant à tout réel $x$ le réel
\begin{equation*}
g(x)=\mathbf{P}([L1\leqslant x]\cap \lbrack Ll+L2\leqslant a])
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $h$ strictement positif, justifier les inégalités :
\begin{equation*}
g(x+h)-g(x)\geqslant \mathbf{P}([xa])+\int\limits_{-\infty }^{a}f(x)P([L2>a-x])x
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item En déduire, dans le cas où a est un réel positif ou nul, l'égalité :
\begin{equation*}
\mathbf{P}([K(T_{l})<0]\cup \lbrack K(T2)<0])=\dfrac{c}{c+r}\left( 1+\dfrac{a%
}{c+r}+\dfrac{rc}{(c+r)^{2}}\right) \exp (\dfrac{-a}{c})
\end{equation*}
\end{enumerate}
\section*{3ème partie: Etude de la probabilité d'être en déficit au cours du
temps: deux premiers cas}
\emph{Dans cette partie, le réel $a$ n'étant plus nécessairement fixé, on
utilisera la notation $K_{a}(t)$.\medskip }\newline
Pour tout réel $a$, on note $\Pi (a)$ la probabilité suivante :
\begin{equation*}
\Pi (a)=\mathbf{P}\left( \bigcup_{n=0}^{+\infty }[K_{a}(T_{n})<0]\right)
\end{equation*}%
\emph{Dans le contexte décrit plus haut, $\Pi (a)$ représenterait la
probabilité que la compagnie d'assurance (disposant d'un capital initial de
montant $a$) soit en déficit aprés un sinistre. En particulier $\Pi (a)=1$
si $aa])+\int\limits_{-\infty }^{a}f(x)\Pi (a-x)x
\end{equation*}%
Pourquoi, intuitivement, peut-on conjecturer cette égalité ?
\item Soit $a$ un réel et $n$ un entier naturel.
\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance de $K_{a}(T_{n})$ en fonction de $n,\ a,\ c$ et $%
r $. Trouver sa limite quand $n$ tend vers l'infini, selon les valeurs compar%
ées de $c$ et $r$.
\item Calculer la variance de $K_{a}(T_{n})$ en fonction de $n$, $r$ et $c$.
\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question}, on suppose que $c$ est strictement plus
grand que $r$ et on considére un réel $a$ positif ou nul.
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n$ strictement supérieur à $\dfrac{a}{c-r}$, établir
l'inégalité :
\begin{equation*}
\mathbf{P}([K_{a}(T_{n})<0])\geqslant
1-\dfrac{n(c^{2}+r^{2})}{(a+nr-nc)^{2}}
\end{equation*}
\item En déduire l'égalité: $\Pi (a)=1$.
\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question}, on suppose que $c$ est égal à $r$ et on
considére un réel $a$ positif ou nul.
\begin{enumerate}
\item Soit y un nombre réel. En remarquant que, pour tout entier naturel $n$
non nul, on a l'égalité
\begin{equation*}
K_{a}(T_{n})=a-\sum_{i=1}^{n}(Ci-r\Delta _{i})
\end{equation*}%
et, à l'aide du théoréme de la limite centrée, exprimer le réel $%
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathbf{P}([K_{a}(T_{n})\leqslant a+y\sqrt{n}%
]) $, en utilisant la fonction de répartition de la loi normale centrée ré%
duite.
\item Pour tout nombre réel $y$ strictement positif fixé, établir, pour tout
entier naturel $n$ assez grand, la double inégalité :
\begin{equation*}
\mathbf{P}([K_{a}(T_{n})\leqslant a-y\sqrt{n}])\leqslant \mathbf{P}([K_{a}(T_{n})a])\leqslant e^{-\lambda a}E(exp(\lambda
S_{n}))
\end{equation*}
\item En déduire que tout réel $\lambda $ élément de $]0,\dfrac{1}{c}-\dfrac{%
1}{r}[$, la série de terme général $\dfrac{1}{(1+r\lambda )^{n}(1-c\lambda
)^{n}}$ converge et qu'on a l'inégalité :
\begin{equation*}
\mathbf{P}\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }[S_{n}>a]\right)
\leqslant e^{-\lambda a}\sum_{n=1}^{+\infty
}\dfrac{1}{(1+r\lambda )^{n}(l-c\lambda )^{n}}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item En remarquant que, pour tout réel $a$ positif ou nul, $\Pi (a)=\mathbf{%
P}(\bigcup_{n=1}^{+\infty }[S_{n}>a])$, établir les résultats suivants :
\begin{enumerate}
\item $\underset{a\rightarrow +\infty }{\lim }\Pi (a)=0$,
\item Pour tout réel $\lambda $ vérifiant $O<\lambda <\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{%
r} $, et tout réel $a$ assez grand, on a l'inégalité: $\Pi
(a)\leqslant e^{-\lambda a}$\newline
\emph{(on introduira un réel $\mu $, vérifiant $\lambda <\mu ,<\dfrac{1}{c}-%
\dfrac{1}{r}$).}
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que si une fonction $\psi $ est continue sur $\mathbb{R}_{+}$
et de limite nulle en $+\infty $, alors la fonction $\left\vert \psi
\right\vert $ a un maximum sur $\mathbb{R}_{+}$.
\item Soit $\Pi _{l}$ et $\Pi _{2}$ deux fonctions continues sur $\mathbb{R}%
_{+}$, toutes deux de limite nulle en $+\infty $, vérifiant pour tout réel $a
$ positif ou nul, les égalités :
\begin{equation*}
\Pi (a)=\mathbf{P}([Ll>a])+\int\limits_{-\infty }^{a}f(x)\Pi (a-x)x\text{ et
}\Pi _{2}(a)=P([Ll>a])+\int\limits_{-\infty }^{a}f(x)\Pi _{2}(a-x)x
\end{equation*}%
Montrer que les fonctions $\Pi _{l}$ et $\Pi _{2}$ coïncident sur $\mathbb{R}%
_{+}$.
\item Etablir, pour tout réel $a$ positif ou nul, l'égalité suivante :
\begin{equation*}
\Pi (a)=\dfrac{c}{r}\exp \left( -a(\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{r})\right)
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}