<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st


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\begin{document}


\begin{center}
{\Large ICN 1981\vspace{2cm}}
\end{center}

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ de dimension $3$ muni d'un
produit scalaire. Le produit scalaire des vecteurs $u$ et $v$ est noté $u.v$
et la norme du vecteur $u$ est noté $\left\Vert u\right\Vert .$\newline
On désigne par 

\begin{itemize}
\item $B=(e_{1},e_{2},e_{3})$ une base orthonormée de $E.$

\item $F(E)$ l'ensemble des applications de $E$ dans $E.$

\item $T(E)$ l'ensemble des applications $f$ de $E$ dans $E$ qui vérifient :%
\begin{equation*}
\forall (u,v)\in E\times E,\quad (u-v).\left[ f(u)-f(v)\right] =0
\end{equation*}

\item $\mathcal{L}(E)$ l'ensemble des endomorphismes de $E.$
\end{itemize}

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%\renewcommand{\labelenumi}{\large \textbf{\theenumi} -}
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%\renewcommand{\labelenumiii}{\theenumiii )}}}%
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\renewcommand{\labelenumi}{\large \textbf{\theenumi} -}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii .}
\renewcommand{\labelenumiii}{\theenumiii )}%
%EndExpansion

\begin{enumerate}
\item Pour $a\in \mathbb{R},$ on considère l'application $f_{a}$ de $F(E)$
qui associe au vecteur $v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}$ le vecteur 
\begin{equation*}
f_{a}(v)=(1+3x_{2}-a_{3})e_{1}+(2ax_{3}-3x_{1})e_{2}+(2+ax_{1}-a^{2}x_{2})e_{3}.
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs de $a$ pour que $f_{a}\in T(E).$

\item On prend $a=2$

\begin{itemize}
\item Démontrer qu'il existe un vecteur $w$ et un endomorphisme $g$ de $E$
tel que $\forall u\in E,\quad f_{2}(u)=w+g(u).$\newline
Donner la matrice de $g$ dans la base $B.$\newline
Déterminer $\ker g$ et $\func{Im}g.$

\item Démontrer qu'il existe $(n,i))\in \ker g\times \func{Im}g$ et un
nombre réel $\alpha $ tels que $C=(n,i,\alpha g(i))$ soit une base orthonormé%
e de $E.$\newline
Donner la matrice de $g$ dans la base $C.$
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item \thinspace 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $T(E)$ est un sous-espace vectoriel de $F(E).$

\item soit $f\in \mathcal{L}(E)\cap T(E)$

\begin{itemize}
\item Calculer pour $(u,v)\in E\times E,\quad u.f(u)$ et $u.f(v)v.f(u)$

\item Calculer $e_{i}.f(e_{j})+e_{j}.f(e_{i})$ pour $(i,j)\in \{1,2,3\}^{2}.$
\end{itemize}

\item Soit $f\in F(E)$

\begin{itemize}
\item Démontrer que $f\in T(E)\cap \mathcal{L}(E)$ si et seulement si il
existe $(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})\in \mathbb{R}^{3}$ tel que la
matrice $M$ de $f$ dans la base $B$ soit $M=%
\begin{pmatrix}
0 &amp; -\alpha _{3} &amp; \alpha _{2} \\ 
\alpha _{3} &amp; 0 &amp; -\alpha _{1} \\ 
-\alpha _{2} &amp; \alpha _{1} &amp; 0%
\end{pmatrix}%
$

\item Donner la dimension de $T(E)\cap \mathcal{L}(E).$
\end{itemize}

\item Soit $f\in T(E)\cap \mathcal{L}(E)$ avec $f$ différent de la fonction
nulle. Soit $B_{1}=(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3})$ une
base orthonormée de $E.$ On désigne par $M=%
\begin{pmatrix}
0 &amp; -\alpha _{3} &amp; \alpha _{2} \\ 
\alpha _{3} &amp; 0 &amp; -\alpha _{1} \\ 
-\alpha _{2} &amp; \alpha _{1} &amp; 0%
\end{pmatrix}%
$ et $M_{1}=%
\begin{pmatrix}
0 &amp; -\beta _{3} &amp; \beta _{2} \\ 
\beta _{3} &amp; 0 &amp; -\beta _{1} \\ 
-\beta _{2} &amp; \beta _{1} &amp; 0%
\end{pmatrix}%
$ les matrices de $f$ dans les bases $B$ et $B_{1}.$ On pose $R=\alpha
_{1}e_{1}+\alpha _{2}e_{2}+\alpha _{3}e_{3}$ et $S=\beta _{1}\varepsilon
_{1}+\beta _{2}\varepsilon _{2}+\beta _{3}\varepsilon _{3}$

\begin{enumerate}
\item \thinspace 

\begin{itemize}
\item Démontrer que $f$ est de rang $2.$

\item Calculer $f(R)$ et $f(S).$
\end{itemize}

\item \thinspace 

\begin{itemize}
\item Démontrer que 
\begin{equation*}
\forall v\in E,\quad (f\circ f)(v)=(R.v)R-\left\Vert R\right\Vert
^{2}v=(S.v)S-\left\Vert S\right\Vert ^{2}v
\end{equation*}

\item Comparer $R$ et $S.$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item \thinspace 

\begin{enumerate}
\item Soit $K(E)$ l'ensemble des applications constantes de $E$ dans $E$

\begin{itemize}
\item Démontrer que $K(E)$ est un sous-espace vectoriel de $T(E)$

\item Donner la dimension de $K(E)$
\end{itemize}

\item Soit $f\in T(E).$ On définit l'application $\varphi $ de $F(E)$ par $%
\varphi (u)=f(u)-f(0_{E}),$ où $0_{E}$ est le vecteur nul de $E.$

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\varphi \in T(E).$

\item Démontrer que $\forall (u,v)\in E\times E,\quad $%
\begin{tabular}[t]{l}
$u.\varphi (u)=0$ \\ 
$u.\varphi (v)+v.\varphi (u)=0$%
\end{tabular}%
\newline
En déduire que $\varphi \in \mathcal{L}(E).$

\item Démontrer que $T(E)\cap \mathcal{L}(E)$ et $K(E)$ sont des
sous-espaces supplémentaires de $T(E).$\newline
Donner la dimension de $T(E).$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

N.B. : La question {\large I }est indépendante des questions {\large II} et 
{\large III}

\label{fin}

\end{document}
</pre></body></html>