%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\Large ICN 1986 Option économique et technologique\vspace{2cm}}
\end{center}
\section*{1er exercice}
On considère une urne contenant 1 boule rouge, 2 boules noires et 3 boules
jaunes. On effectue des tirages successifs sans remise jusqu'à ce qu'il ne
reste plus dans l'urne que des boules de deux couleurs différentes.\newline
On note $X$ la variable aléatoire "nombre de tirages effectués"
Déterminer la loi de $X$ et calculer son espérance et sa variance
\noindent (Tous les résultats seront présentés sous forme de nombres
rationnels irréductibles)
\section*{2ème exercice}
Pour $n$ entier strictement positif, on définit%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
u_{n}=\dfrac{\pi ^{2}n^{2}}{2}\int\limits_{n\pi }^{(n+1)\pi }\dfrac{%
\left\vert \sin t\right\vert }{t^{2}}dt \\
v_{n}=\int\limits_{n\pi }^{(n+1)\pi }(x^{2}-\pi ^{2}n^{2})\left\vert \sin
t\right\vert dt%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $v_{n}=(2n+1)\pi ^{2}-4.$
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item En effectuant le changement de variable $t=\pi -x$ dans l'expression
de $u_{n+1},$ montrer que la suite $(u_{n})$ est croissante.
\item En majorant $\left\vert \sin t\right\vert $ par $1,$ montrer que la
suite $(u_{n})$ est bornée donc convergente.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $1=\dfrac{1}{2}\int\limits_{n\pi }^{(n+1)\pi }\left\vert
\sin t\right\vert dt.$
\item En déduire l'encadrement suivant :%
\begin{equation*}
\dfrac{v_{n}}{2(n+1)^{2}\pi ^{2}}\leqslant 1-u_{n}\leqslant \dfrac{v_{n}}{%
2n^{2}\pi ^{2}}
\end{equation*}
\item Quelle conclusion peut-on en tirer pour la suite $(u_{n})$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Problème}
Soit $n$ un entier $\geqslant 2.$ $\mathcal{P}_{n}$ représente l'espace
vectoriel des polynômes réels de degré $\leqslant n.$ Pour $P\in \mathcal{P}%
_{n},$ on note $f(P)$ le polynôme défini par :%
\begin{equation*}
f(P)(x)=(x-1)P^{\prime }(x)-2P(0),\quad \text{où }P^{\prime }\text{ repré%
sente le polynôme dérivé de }P
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{P}_{n}.$
\item Donner la matrice $A_{n}$ de $f$ dans la base canonique $%
B_{n}=(1,x,x^{2},..,x^{n})$ de $\mathcal{P}_{n}<$
\item Démontrer que $f$ est injectif.
\item Déterminer $A_{n}^{-1},$ la matrice inverse de $A_{n}.$
\end{enumerate}
\item Pour $i$ entier appartenant à $\{1,..,n\},$ on pose $Q_{i}(x)=\left(
\dfrac{i}{2}-1\right) (1-x)^{i}-1.$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $Q_{i}$ est un vecteur propre de $f,$ associé à la valeur
propre $\lambda _{i}=i.$
\item Montrer qiue si $i$ est pair, $Q_{1}(x)$ est strictement positif pour
tout réel $x.$
\item Montrer que si $i$ est impair, $i=2k+1,$ $Q_{2k+1}(x)=0$ possède une
unique solution réelle que l'on calculera et que l'on notera $a_{k}.$\newline
Déterminer $\lim\limits_{k\rightarrow +\infty }a_{k}.$
\end{enumerate}
\item Soit $B_{n}^{\prime }$ la famille de $\mathcal{P}_{n}$ constituée des
polynômes
\begin{equation*}
\{x^{2},Q_{1}(x),Q_{2}(x),...,Q_{n}(x)\}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $B_{n}^{\prime }$ est une base de $\mathcal{P}_{n}.$ On
notera $P_{n}$ la matrice de passage de la base $B_{n}$ à la base $%
B_{n}^{\prime }.$
\item Donner la matrice $A_{n}^{\prime }$ de $f$ dans la base $B_{n}^{\prime
}.$
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'il existe deux suites $(a_{p})_{p\geqslant 0}$ et $%
(b_{p})_{p\geqslant 0}$ de $\mathbb{Z}$ telles que
\begin{equation*}
\forall p\in \mathbb{N}:(A_{2}^{\prime })^{p}=%
\begin{pmatrix}
2^{p} & 0 & 0 \\
a_{p} & 1 & 0 \\
b_{p} & 0 & 2^{p}%
\end{pmatrix}%
\quad \text{(par convention }(A_{2}^{\prime })^{0}=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{pmatrix}%
\text{)}
\end{equation*}%
Donner les formules de récurrence liant $a_{p+1}$ et $a_{p}$ d'une part, $%
b_{p+1}$ et $b_{p}$ d'autre part.
\item En déduire les expressions exactes de $a_{p}$ et $b_{p}$ (on pourra
utiliser $\dfrac{b_{p}}{2^{p}}).$
\item Comment peut-on en déduire pour tout $n\geqslant 2,$ les matrices $%
(A_{n}^{\prime })^{p}$ et $(A_{n})^{p}$ ?
\item En remplaçant $p$ par $-p$ dans l'expression de $(A_{2}^{\prime })^{p},
$ vérifier que la matrice obtenue est l'inverse de $(A_{2}^{\prime })^{p},$
c'est-à-dire $(A_{2})^{-p}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}