%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{color}
\usepackage{fancyhdr}
\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{Created=Wednesday, September 08, 2004 18:46:18}
%TCIDATA{LastRevised=Wednesday, September 08, 2004 20:48:07}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
\geometry{margin={1cm,2cm}}
\pagestyle{fancy}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\begin{center}
{\Large IECS 1989 Option économique\vspace{2cm}}
\end{center}
\section*{EXERCICE\ I}
%TCIMACRO{%
%\TeXButton{TeX field}{\renewcommand{\theenumi}{\Alph{enumi}}
%\renewcommand{\theenumii}{\arabic{enumii}}
%\renewcommand{\theenumiii}{\alph{enumiii}}
%\renewcommand{\labelenumi}{\large{\theenumi} -}
%\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}
%\renewcommand{\labelenumiii}{(\theenumiii)}}}%
%BeginExpansion
\renewcommand{\theenumi}{\Alph{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\arabic{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\alph{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\large{\theenumi} -}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}
\renewcommand{\labelenumiii}{(\theenumiii)}%
%EndExpansion
\begin{enumerate}
\item Soit $n\in \mathbb{N}$ et $u\in \mathbb{R}.$ On pose
\begin{equation*}
s_{n}(u)=\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^{k}u^{k}=1-u+u^{2}+\cdots +(-1)^{n}u^{n}.
\end{equation*}%
et
\begin{equation*}
S_{n}(u)=\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^{k}\dfrac{u^{k+1}}{k+1}=u-\dfrac{u^{2}}{2}%
+\cdots +(-1)^{n}\dfrac{u^{n+1}}{n+1}.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que
\begin{equation*}
\forall t\in \mathbb{R}\backslash \{-1\},\quad \dfrac{1}{1+t}=s_{n}(t)+%
\dfrac{(-1)^{n+1}t^{n+1}}{1+t}
\end{equation*}
\item Exprimer pour $u\in \mathbb{R}\backslash \{-1\}$ $S_{n}^{\prime }(i)$
en fonction de $s_{n}(u)$ et en déduire que
\begin{equation*}
\forall x\in ]-1,+\infty \lbrack ,\quad \ln
(1+x)=S_{n}(x)+(-1)^{n+1}\int\limits_{0}^{x}\dfrac{t^{n+1}}{1+t}dt
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item On fixe $x\in \lbrack 0,1].$ Justifier le fait que pour $t\in \lbrack
0,x],$ on a $\dfrac{1}{1+x}\leqslant \dfrac{1}{1+t}\leqslant 1$ et montrer
que
\begin{equation*}
\dfrac{x^{n+2}}{(1+x)(n+2)}\leqslant \left\vert \ln
(1+x)-S_{n}(x)\right\vert \leqslant \dfrac{x^{n+2}}{n+2}.
\end{equation*}%
En déduire que $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }S_{n}(x)=\ln (1+x).$
\item On fixe maintenant $x\in ]-1,0[.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que
\begin{equation*}
(-1)^{n+1}\int\limits_{0}^{x}\dfrac{t^{n+1}}{1+t}dt=-\int\limits_{0}^{-x}%
\dfrac{u^{n+1}}{1-u}du.
\end{equation*}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0,1[$ par la relation $g(u)=\dfrac{1%
}{1-u}.$ Justifier le fait que pour $u\in \lbrack 0,-x],$ on a $%
g(0)\leqslant g(u)\leqslant g(-x)$ et montrer que :%
\begin{equation*}
\dfrac{(-x)^{n+2}}{n+2}\leqslant \left\vert \ln (1+x)-S_{n}(x)\right\vert
\leqslant \dfrac{(-x)^{n+2}}{(1+x)(n+2)}.
\end{equation*}
\item Montrer que pour $x\in ]-1,0[,$ on a $\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty }S_{n}(x)=\ln (1+x).$
\end{enumerate}
\item Afin de calculer une valeur approchée de $\ln 2,$ on envisage à priori
de calculer $S_{n}(1)$ pour $n$ assez grand.\newline
Quelle valeur minimale de $n$ faudra-t-il considérer si
\begin{equation*}
\left\vert \ln 2-\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{k+1}\right\vert
<10^{-6}\text{ ?}
\end{equation*}%
(on pourra utiliser le 2))
\item On décide de chercher des formules nécessitant le calcul d'un nombre
moins élevé de termes.
\begin{enumerate}
\item Soit $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}.$ Montrer que
\begin{equation*}
\ln (1+x)-\ln (1-y)=\ln 2\Leftrightarrow x+2y=1\text{ et }x>-1.
\end{equation*}
\item Soit $q\in ]0,1]$ un réel fixé et soit $h_{q}$ la fonction définie sur
$\mathbb{R}_{+}^{\times }$ par la relation $h_{q}(t)=\dfrac{q^{t}}{t}.$
Montrer que $h_{q}$ décroit strictement sur $\mathbb{R}_{+}^{\times }.$%
\newline
Détermminer $N\in \mathbb{N}$ tel que
\begin{equation*}
n\geqslant N\Rightarrow \dfrac{5(\dfrac{1}{3})^{n+2}}{2(n+2)}<4.10^{-8}.
\end{equation*}%
Donner des valeurs décimales approchant $S_{N}(\dfrac{1}{3})$ et $S_{N}(-%
\dfrac{1}{3})$ à $10^{-7}$ au plus près (On négligera les erreurs d'arrondi
de la calculatrice). En déduire une valeur décimale approchant $\ln 2$ à $%
2,5.10^{-7}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item Pour $n\in \mathbb{N},$ on pose
\begin{equation*}
u_{n}=\ln 2-\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{k+1},\quad
v_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}u_{k}\quad \text{et}\quad
w_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\left\vert u_{k}\right\vert
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Déduire du \textbf{A-}2) que $\forall n\in \mathbb{N},\quad
w_{n}\geqslant \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1%
}{n-2}\right) .$
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall x\in \mathbb{R}_{+},\quad x\geqslant \ln (1+x).$
\item En déduire que : $\forall n\in \mathbb{N},\quad w_{n}\geqslant \dfrac{1%
}{2}\ln \left( \dfrac{n+3}{2}\right) $ et la valeur de $\lim\limits_{n%
\rightarrow +\infty }w_{n}.$
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item A l'aide des \textbf{A-}1)(a) et (b), montrer que
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\quad v_{n}=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{-t}{1+t}\left[
\dfrac{1+(-1)^{n}t^{n-1}}{1+t}\right] dt
\end{equation*}
\item Pour $n\in \mathbb{N},$ on note $a_{n}=(-1)^{n+1}\int\limits_{0}^{1}%
\dfrac{t^{n+2}}{(1+t)^{2}}dt.$\newline
Prouver que $\forall n\in \mathbb{N},\quad \left\vert a_{n}\right\vert
\leqslant \dfrac{1}{n+3}$ et en déduire $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}a_{n}.$
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Soient $I=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{t}{(1+t)^{2}}dt$ et $%
J=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{dt}{(1+t)^{2}}.$\newline
Calculer $J,$ $I+J,$ $I.$
\item En déduire $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }v_{n}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE II}
On considère les matrices de $\mathfrak{M}_{3}(\mathbb{R})$ :%
\begin{equation*}
A=%
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 4 \\
-1 & 3 & 2 \\
-1 & 1 & 4%
\end{pmatrix}%
,\quad I=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{pmatrix}%
\quad \text{et}\quad 0_{3}=%
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
%TCIMACRO{%
%\TeXButton{TeX field}{\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
%\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
%\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}}}%
%BeginExpansion
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}%
%EndExpansion
\begin{enumerate}
\item Vérifier la relation $A^{2}-5A+6I=0_{3}$
\item En déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}.$
\item Montrer que $\forall n\in \mathbb{N},\quad \exists (\alpha _{n},\beta
_{n})\in \mathbb{R}^{2},\quad A^{n}=\alpha _{n}A+\beta _{n}I.$\newline
(On déterminera une relation de récurrence exprimant $\alpha _{n+1}$ et $%
\beta _{n+1}$ en fonction de $\alpha _{n}$ et $\beta _{n}$ et on donnera les
valeurs de $\alpha _{1}$ et de $\alpha _{0}).$
\item Pour $n\in \mathbb{N},$ on pose $u_{n}=\alpha _{n+1}-2\alpha _{n}$ et $%
v_{n}=\alpha _{n+1}-3\alpha _{n}.$\newline
Montrer que les suites $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_{n})_{n\in \mathbb{%
N}}$ sont géométriques et en déduire $\alpha _{n}$ en fonction de $n.$
\item Pour $n\in \mathbb{N},$ exprimer $A^{n}$ en fonction de $n.$
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE\ III}
Un joueur joue avec deux dés équilibrés
\begin{eqnarray*}
&&\text{sur le dé n}°1\quad \left\{
\begin{array}{c}
\text{3 faces portent l'inscription +10} \\
\text{2 faces portent l'inscription -30} \\
\text{1 face porte l'inscription +120}%
\end{array}%
\right. \\
&&\text{sur le dé n}°2\quad \left\{
\begin{array}{c}
\text{1 face porte l'inscription +10} \\
\text{3 faces portent l'inscription -80} \\
\text{2 faces portent l'inscription +120}%
\end{array}%
\right.
\end{eqnarray*}%
Quand le joueur joue avec l'un des dés, la somme indiquée sur la face tirée
(un "gain" de -80 F signifiant une perte de 80 F)\newline
On note $X$ (respectivement $Y)$ la variable aléatoire : gain en jouant avec
le dé n$°1$ (respectivement n$°2).$
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Déterminer les lois de probabilité de $X$ et de $Y.$
\item Calculer $P(X>0),$ $E(X)$ et $V(X).$
\item Calculer $P(Y>0)$, $E(Y)$ et $V(Y).$
\end{enumerate}
\noindent Dans les question qui suivent, le joueur joue une succession de
coups en adoptant la règle suivante :
\begin{itemize}
\item S'il gagne de l'argent à un coup, il joue celui d'après avec le dé n$°%
2,$
\item S'il perd de l'argent à un coup, il joue celui d'après avec le dé n$°1.
$
\end{itemize}
\noindent Le premier coup est joué avec le numéro 1.
\item On note $A_{n}$ l'évènement : "gagner l'argent au $n^{i\grave{e}me}$
coup ", pour $n\in \mathbb{N}^{\times }.$
\begin{enumerate}
\item Calculer $p(A_{1}).$
\item Calculer $p(A_{2})$
\item Trouver une relation entre $p(A_{n+1})$ et $p(A_{n}).$ En déduire
l'expression de $p(A_{n})$ en fonction de $n$ et calculer $%
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }p(A_{n}).$
\end{enumerate}
\item Au $2^{\grave{e}me}$ coup, le joueur gagne 120 F. Déterminer la
probabilité $\alpha _{2}$ qu'il ait gagné cette somme en jouant avec dé n$°2.
$
\item Soit $n\in \mathbb{N},$ $n\geqslant 2.$
\begin{enumerate}
\item Au $n^{i\grave{e}me}$ coup, le joueur gagne 120 F. Déterminer la
probabilité $\alpha _{n}$ qu'il ait gagné cette somme en jouant avec le dé n$%
°2.$
\item Calculer $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\alpha _{n}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}