%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\Large IECS 1990 Option économique\vspace{2cm}}
\end{center}
\section*{EXERCICE\ I}
On note $E$ l'ensemble des fonctions polynômes à coefficients réels, de degré
au plus 3.
%TCIMACRO{%
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%\renewcommand{\theenumii}{\arabic{enumii}}
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%\renewcommand{\labelenumi}{\large{\theenumi} -}
%\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}
%\renewcommand{\labelenumiii}{(\theenumiii)}}}%
%BeginExpansion
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\renewcommand{\labelenumi}{\large{\theenumi} -}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}
\renewcommand{\labelenumiii}{(\theenumiii)}%
%EndExpansion
\begin{enumerate}
\item Soit $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, définie par : $\forall x\in
\mathbb{R},\quad f(x)=x^{3}-3x^{2}+1.$\newline
On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère
orthogonal.
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $f$ et préciser ses branches infinies.
\item Déterminer la concavité et les éventuels points d'inflexion de $%
\mathcal{C}_{f}.$
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ possède trois racines réelles
distinctes, qu'on note $\alpha ,$ $\beta $ et $\gamma $ avec $\alpha <\beta
<\gamma .$\newline
Placer $\alpha ,$ $\beta $ et $\gamma $ par rapport aux nombres $-1;0;1;2;3.$
\item Tracer $\mathcal{C}_{f}$ (unités graphiques : 2 cm en abscisse et 0,5
cm en ordonnée)
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Soit $P\in E.$ Montrer que la fonction polynôme définie par :%
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R},\quad Q(x)=-P(x)P(-x)
\end{equation*}%
est une fonction paire.\newline
Que peut-on conclure sur les coefficients de $Q$ ?
\item Montrer que $\forall P\in E,\quad \exists \widehat{P}\in E,\quad
\forall x\in \mathbb{R},\quad -P(x)P(-x)=\widehat{P}(x^{2}).$
\item On considère la suite d'éléments de $E$ définie par
\begin{equation*}
P_{0}=f\quad \text{et, pour }n\in \mathbb{N},\quad P_{n+1}=\widehat{P_{n}}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P_{1},$ $P_{2},$ $P_{3}$ et $P_{4}.$\newline
\textbf{Les candidats sont invités à tenir compte du B-1) et à utiliser, si n%
écessaire, leur calculatrice}
\item On note $P_{n}$ sous la forme%
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R},\quad P_{n}(x)=x^{3}-a_{n}x^{2}+b_{n}x+c_{n}\text{
avec }(a_{n},b_{n},c_{n})\in \mathbb{R}^{3}.
\end{equation*}%
Soit $a$ la racine $16^{i\grave{e}me}$ de $a_{4}.$ Calculer $f(a)$ à la pré%
cision de la calculatrice.\newline
On se propose d'expliquer le phénomène précédent.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\alpha _{n},$ $\beta _{n}$ et $\gamma _{n}$ sont les
racines de $P_{n},$ alors $P_{n+1}$ admet $\alpha _{n}^{2},$ $\beta _{n}^{2}$
et $\gamma _{n}^{2}$ comme racines.
\item Si $\alpha _{n},$ $\beta _{n}$ et $\gamma _{n}$ sont les racines de $%
P_{n},$ exprimer $a_{n}$ en fonction de $\alpha _{n},$ $\beta _{n}$ et $%
\gamma _{n}.$
\end{enumerate}
\item On déduit que \textbf{B-4}) que $\forall n\in \mathbb{N},\quad
a_{n}=\alpha ^{2^{n}}+\beta ^{2^{n}}+\gamma ^{2^{n}}.$\newline
Montrer que $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }(a_{n})^{\frac{1}{2^{n}}%
}=\gamma $
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE\ II}
On munit le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}^{3}$ d'une base $%
\mathcal{B}=(e_{1},e_{2},e_{3})$ et on considère l'endomorphisme de $\mathbb{%
R}^{3}$ déterminé par sa matrice $A$ dans $\mathcal{B}:$%
\begin{equation*}
A=%
\begin{pmatrix}
\alpha & a & b \\
0 & \beta & c \\
0 & 0 & \gamma
\end{pmatrix}%
,\quad \text{où }\alpha ,\beta \text{ et }\gamma \text{ ne sont pas tous é%
gaux.}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item On veut montrer qu'on peut se ramener au cas où $\alpha \neq \gamma ,$
et pour ce faire on suppose $\alpha =\gamma .$
\begin{enumerate}
\item On supose dans cette sous-question qu'on a aussi $c=0.$ Déterminer la
matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}^{\prime }$ de $\mathbb{R}^{3}:%
\mathcal{B}^{\prime }=(e_{1},e_{3},e_{2}).$
\item On suppose dans cette sous-question, qu'on a $c\neq 0.$ On pose $%
e_{2}^{\prime }=ce_{2}+(\alpha -\beta )e_{3}.$ Montrer que $\mathcal{B}%
"=(e_{1},e_{2}^{\prime },e_{3})$ est une base de $\mathbb{R}^{3}.$ Exprimer $%
f(e_{2}^{\prime })$ et $f(e_{3})$ en fonction de $e_{1},e_{2}^{\prime }$ et $%
e_{3}$ et en déduire la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}".$
\end{enumerate}
\noindent \textbf{La question 1) a montré qu'on pouvait supposer }$\alpha
\neq \gamma ,$\textbf{\ ce qu'on fera dans toute la suite de l'exercice.}
\item Montrer que $\forall n\in \mathbb{N},\quad A^{n}$ est de la forme%
\begin{equation*}
A^{n}=%
\begin{pmatrix}
\alpha ^{n} & a_{n} & b_{n} \\
0 & \beta ^{n} & c_{n} \\
0 & 0 & \gamma ^{n}%
\end{pmatrix}%
,
\end{equation*}%
où $a_{n},b_{n}$ et $c_{n}$ vérifient les relations%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{ll}
a_{n+1}=\alpha ^{n}a+\beta a_{n}=\alpha a_{n}+\beta ^{n}a & \\
b_{n+1}=\alpha ^{n}b+ca_{n}+\gamma b_{n}=\alpha b_{n}+ac_{n}+\gamma ^{n}b, &
\text{avec }a_{0}=b_{0}=c_{0}=0 \\
c_{n+1}=\beta ^{n}c+\gamma c_{n}=\beta c_{n}+\gamma ^{n}c &
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
(on pourra remarquer que $A^{n}A=AA^{n}).$
\item Déterminer $A^{n}.$ (Dans le cas où $\alpha =\beta ,$ on montrera que $%
a_{n}=na\alpha ^{n-1}$ si $n\in \mathbb{N}^{\times },$ et on procédera de faç%
on analogue si $\beta =\gamma )$
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE\ III}
On mesure la pression d'un gaz donné correspondant à diverses valeurs du
volume $V.$ Une étude théorique a montré qu'il devait y avoir entre $P$ et $V
$ une relation du type $P=kV^{a},$ où $k$ et $a$ sont des constantes.\newline
Les mesures effectuées ont donné les résultats suivants :%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{lcccccc}
n$°$ i de la mesure & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
Volume $V_{i}$ (en m$^{3})$ & 54,3 & 61,8 & 72,4 & 88,7 & 118,6 & 194 \\
Pression $P_{i}$ (en Pascal) & 61,2 & 49,5 & 37,6 & 28,4 & 19,2 & 10,1%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Représenter sur un papier à deux échelles logarithmiques, le nuage des
points $M_{i}(V_{i},P_{i}).$\newline
Les résultats expérimentaux sont-il graphiquement en concordance avec l'é%
tude théorique effectuée ?
\item On pose $x_{i}=\log P_{i}$ et $y_{i}=\log V_{i}$ ($\log $ désigne le
logarithme décimal)\newline
\textbf{N.B : Pour traiter cette questionn les candidats dresseront un
tableau de calculs indiquant toutes les valeurs ainsi que les sommes né%
cessaires à la détermination des paramètres demandés.}\newline
Pour réaliser ce tableau, les logarithmes seront arrondis, au plus proche, à
0,0001 près et tous les autres nombres du tableau en seront déduits et indiqu%
és avec la même précision.\newline
On indiquera les formules précisées.
\begin{enumerate}
\item Déterminer, à 0,0001 près, le coefficient de corrélation linéaire
entre $x$ et $y.$
\item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la
droite de régression $D$ de $y$ par rapport à $x.$ Les coefficients seront
donnés à 0,0001 près.
\item Tracer la droite $D$ sur le graphique précédent après en avoir dé%
terminer deux points.
\end{enumerate}
\item Déterminer, à 0,0001 près au plus proche, les coefficients $k$ et $a$
de la relation théorique.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}