%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\LARGE INSEEC}\bigskip
{\Huge MATHEMATIQUES \bigskip }
{\Large option technologique\vspace{1cm}}
\textbf{Année 1991\bigskip }
\end{center}
\noindent {\small Les candidats ne doivent pas faire usage d'aucun document;
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent {\small Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \hrulefill \bigskip
\section*{EXERCICE\ I}
Le tableau suivant donne le montant, en milliards de francs, des
importations de la France en biens de consommation courante de 1982 à 1989 :%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Année & 1982 & 1983 & 1984 & 1985 & 1986 & 1987 & 1988 & 1989 \\ \hline
rang de l'année $x_{i}$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
montant $m_{i}$ des importations & 93,5 & 102,7 & 116,6 & 128,4 & 139,2 &
153,3 & 170,2 & 193,6 \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
(source : TEF 90 publication INSEE).\newline
On pose $y_{i}=\log m_{i},$ où $\log $ est le logarithme décimale.
\begin{enumerate}
\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $y$ et $x.$%
\newline
Pour ce faire, on citera les formules utilisées et on dressera le tableau
des calculs nécessaires; les $y_{i}$ seront arrondis à $10^{-4}$ près au
plus proche; les autres nombres du tableau à partir de ces valeurs arrondies
et seront arrondis à $10^{-4}$ près au plus proche. Le coefficient de corré%
lation linéaire trouvé sera arrondi à $10^{-3}$ près au plus proche.
\item Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x.$%
\newline
Les coefficients obtenus seront arrondis à $10^{-3}$ près au plus proche.
\item En déduire une relation entre $m$ et $x$ de la forme $m=k\alpha ^{x},$
$k$ sera arrondi à l'entier le plus proche et $\alpha $ sera arrondi à $%
10^{-3}$ près au plus proche.
\item Donner une estimation du montant des importations de la France en
biens de consommation courante en 1990.
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE\ II}
\subsection*{Partie A}
$M=%
\begin{pmatrix}
2 & 2 & 3 \\
6 & 6 & 4 \\
2 & 2 & 3%
\end{pmatrix}%
$ et $P=%
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
-1 & -2 & 5 \\
0 & 1 & 2%
\end{pmatrix}%
$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $M.$
\item A l'aide de la méthode du pivot de Gauss, montrer que la matrice $P$
est inversible et calculer $P^{-1}.$
\item Justifier que la matrice $P^{-1}MP$ est une matrice diagonale à pré%
ciser.
\item Calculer $M^{n}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
\item On pose $N=\dfrac{1}{10}M.$ Vérifier que pour tout entier naturel $n$
non nul%
\begin{equation*}
M^{n}=\dfrac{1}{9}%
\begin{pmatrix}
-\dfrac{2}{10^{n}}+2 & -\dfrac{2}{10^{n}}+2 & \dfrac{7}{10^{n}}+2 \\
\dfrac{4}{10^{n}}+5 & \dfrac{4}{10^{n}}+5 & -\dfrac{14}{10^{n}}+5 \\
-\dfrac{2}{10^{n}}+2 & -\dfrac{2}{10^{n}}+2 & \dfrac{7}{10^{n}}+2%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie B :}
Une enquête a été réalisé auprès des télespectateurs qui regardent le
journal télévisé de 20h, sur l'une des trois chaines A,B,C.
\begin{enumerate}
\item Les premiers résultats ont permis d'établir que les probabilités $a,b,c
$ qu'un télespectateur regarde la chaine A, la chaine B, la chaine C sont
respectivement
\begin{equation*}
a=0,5\quad b=0,4\quad c=0,1
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item On interroge dix télespectateurs (foyers différents).\newline
Quelle est la probabilité à $10^{-4}$ près, que :
\begin{enumerate}
\item six de ces personnes exactement regardent la chaine A ?
\item au moins une personne regarde la chaine C ?
\end{enumerate}
\item On interroge cent personnes (foyers différents).
\begin{enumerate}
\item Préciser la variable aléatoire $X$ indiquant le nombre de té%
lespectateurs qui regardent la chaine C.\newline
On approche $X$ par la loi de Poisson de paramètre $10.$ A l'aide de cette
approximation, et avec la précision permise par les tables, calculer la
probabilité de l'évènement suivant : $(10\leqslant X\leqslant 20).$
\item Préciser la variable aléatoire $Y$ indiquant le nombre de té%
lespectateurs qui regardent la chaine B.\newline
On approche $Y$ par la loi normale de paramètre $m=4\grave{a}$ et $\sigma
=4,9.$ A l'aide de cette approximation et avec la précision permise par les
tables, calculer les probabilités des trois évènements suivants :%
\begin{equation*}
(Y\leqslant 45);\quad (Y\leqslant 34);\quad (34\leqslant Y\leqslant 45)
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item Chaque jour, certains télespectateurs se déclarent insatisfaits du
traitement de l'information sur la chaine de leur choix et manifestent
l'intention de changer de chaine le jour suivant.\newline
On remarque que :
\begin{itemize}
\item Si un télespectateur regarde un jour la chaine A, la probabilité qu'il
regarde le jour suivant :
\begin{itemize}
\item la chaine A est 0,2
\item la chaine B est 0,6
\item la chaine C est 0,2
\end{itemize}
\item Si un télespectateur regarde un jour la chaine B, la probabilité qu'il
regarde le jour suivant :
\begin{itemize}
\item la chaine A est 0,2
\item la chaine B est 0,6
\item la chaine C est 0,2
\end{itemize}
\item Si un télespectateur regarde un jour la chaine C, la probabilité qu'il
regarde le jour suivant :
\begin{itemize}
\item la chaine A est 0,3
\item la chaine B est 0,4
\item la chaine C est 0,3
\end{itemize}
\end{itemize}
\noindent On note $a_{n},$ $b_{n},$ $c_{n}$ les probabilités qu'un té%
lespectateur regarde la chaine A, la chaine B, la chaine C, le jour $n$ et
on pose
\begin{equation*}
X_{n}=%
\begin{pmatrix}
a_{n} \\
b_{n} \\
c_{n}%
\end{pmatrix}%
\qquad \text{avec }X_{0}=%
\begin{pmatrix}
0,5 \\
0,4 \\
0,1%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Prouver que pour tout entier naturel $n,$ $X_{n+1}=NX_{n}$ où $N$ est
la matrice définie dans le 5. de la partie A.\newline
Justifier alors que
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N}^{\times },\quad X_{n}=N^{n}X_{0}
\end{equation*}
\item Calculer $a_{n},$ $b_{n},$ $c_{n}$ en fonction de $n$ pour $n\in
\mathbb{N}^{\times }$ et préciser les limites respectives des suites $%
(a_{n})_{n\in \mathbb{N}},$ $(b_{n})_{n\in \mathbb{N}},$ $(c_{n})_{n\in
\mathbb{N}}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE\ III}
\begin{enumerate}
\item On considère les fonctions $f,$ $g$ et $h$ suivantes :%
\begin{equation*}
f:\left\{
\begin{array}{lll}
\mathbb{R}_{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x & \mapsto & 6e^{-x}%
\end{array}%
\right. \qquad g:\left\{
\begin{array}{lll}
\mathbb{R}_{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x & \mapsto & e^{x}+1%
\end{array}%
\right. \qquad h:\left\{
\begin{array}{lll}
\mathbb{R}_{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x & \mapsto & \ln 6-\ln (e^{x}+1)%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Dresser les tableaux de variations respectifs de $f$ et $g.$
\item Tracer, sur un même graphique, les courbes représentatives $\mathcal{C}%
_{f},$ $\mathcal{C}_{g}$ de $f$ et $g$ dans le plan rapporté à un repère
orthogonal (unités : 10 cm sur $Ox,$ 3 cm sur $Oy)$\newline
Un point $G_{k}$ étant placé su $\mathcal{C}_{g},$ la parallèle à $Ox$ issue
de $G_{k}$ coupe $\mathcal{C}_{f}$ en $F_{k+1};$ la parallèle à $Oy$ issue
de $F_{k+1}$ coupe $\mathcal{C}_{g}$ en $G_{k+1}.$ \newline
Placer sur la figure précédente $F_{1},$ $F_{2},$ $F_{3},$ $F_{4},$ $F_{5}$
sachant que $G_{0}$ est le point de $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $1.$
\item Résoudre dans $\mathbb{R}_{+}$ l'équation $f^{\prime }(x)=g(x).$
\item Etudier les variations de $h$ et $h^{\prime }$ et justifier que :%
\begin{equation*}
\forall x\in \lbrack 0,\dfrac{3}{2}],\quad \left\vert h^{\prime
}(x)\right\vert \leqslant 0,82.
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item Le prix d'un bien de consommation durant la période $n$ est noté $%
p_{n}.$ On pose $p_{0}=1.$\newline
On suppose que, pour tout entier naturel $n,$ durant la période $(n+1),$
\begin{itemize}
\item la demande $d_{n+1}$ de ce bien est égale à $f(p_{n+1})$
\item l'offre $s_{n+1}$ de ce même bien est égale à $g(p_{n}).$
\end{itemize}
\noindent Sachant que pour chaque période, l'offre est égale à la demande
\begin{enumerate}
\item Préciser l'abscisse des points $F_{1},$ $F_{2},$ $F_{3},$ $F_{4}$ et $%
F_{5}$ en fonction de termes de la suite $(p_{n})_{n\in \mathbb{N}}$
\item Prouver que : $\forall n\in \mathbb{N},\quad p_{n+1}=h(p_{n}).$
\item Montrer, par récurrence sur $n,$ que : $\forall n\in \mathbb{N},\quad
0\leqslant p_{n}\leqslant \dfrac{3}{2}.$
\item Justifier que : $\forall n\in \mathbb{N},\quad \left\vert p_{n+1}-\ln
2\right\vert \leqslant 0,82\left\vert p_{n}-\ln 2\right\vert $.\newline
En déduire que :
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\quad \left\vert p_{n}-\ln 2\right\vert \leqslant
(0,82)^{n}
\end{equation*}%
et prouver que la suite $(p_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers une limite
à préciser.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Inclure les tables de loi normale et poisson
\label{fin}
\end{document}