%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\LARGE INSEEC}\bigskip
{\Huge MATHEMATIQUES \bigskip }
{\Large 1ère épreuve (option technologique)\vspace{1cm}}
\end{center}
\noindent {\small Les candidats ne doivent pas faire usage d'aucun document;
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent {\small Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \hrulefill \bigskip
\section*{Exercice 1}
\begin{enumerate}
\item On considère la suite numérique $u$ définie par :%
\begin{equation*}
u_{0}=0,\quad u_{1}=1\quad \text{et}\quad \forall n\in \mathbb{N}^{\times
}\quad u_{n+1}=7u_{n}+8u_{n-1}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $v$ définie par : $\forall n\in \mathbb{N}$, $%
v_{n}=u_{n}+u_{n+1}$ est une suite géométrique que l'on caractérisera.
\item On considère la suite $w$ définie par : $\forall n\in \mathbb{N}$,$%
\quad w_{n}=(-1)^{n}v_{n}$.
Evaluer en fonction de $u_{n}$, $n\in \mathbb{N}^{\times }$ , la somme $%
\sum\limits_{k=0}^{n-1}w_{k}$ et démontrer que :%
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n}=\dfrac{(-1)^{n+1}}{9}+\dfrac{8^{n}}{9}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item On considère la matrice carrée d'ordre $3$
\begin{equation*}
A=%
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 3 \\
3 & 2 & 3 \\
3 & 3 & 2%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}%
et on note $I$ la matrice unité%
\begin{equation*}
I=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer $A^{2}$ et déterminer $\alpha $ et $\beta $ deux réels tels
que : $A^{2}=\alpha A+\beta I$.
\item En déduire que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ en fonction de $%
A$ et de $I$.
\item Monter qu'il existe deux suites réelles $(a_{n})_{n\geqslant 0}$ et $%
(b_{n})_{n\geqslant 0}$ telles que :
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\quad A^{n}=a_{n}A+b_{n}I
\end{equation*}%
(On exprimera $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n})$.
\item Trouver une relation de récurrence vérifiée par les termes de la suite
$(a_{n})_{n\geqslant 0}$ et déterminer l'expression de $a_{n}$ et $b_{n}$ en
fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item déterminer les $9$ coefficients de la matrice $A^{n}$.
\item On considère le couple de variables aléatoires $X$ et $Y$ définies par
:
\begin{equation*}
X(\Omega )=Y(\Omega )={\{}1,2,3{\}\quad }\text{et}\quad \forall (i,j)\in {\{}%
1,2,3{\}}^{2}\quad P(X=i\cap Y=j)=k\times a_{ij}
\end{equation*}%
où la matrice A précédente est telle que $A=(a_{ij})$ $1\leqslant i\leqslant
3$ et $1\leqslant j\leqslant 3$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre réel $k$.
\item les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
\item déterminer $\rho (X,Y)$ le coefficient de corrélation linéaire du
couple $(X,Y)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 2}
Une urne contient des boules blanches et des boules noires, la proportion de
boules blanches est $p$ ($p\in ]0,1[,$ $p\neq 1/2$\textit{)}.\newline
On effectue dans cette urne une suite de tirages d'une boule, la boule tirée
étant remise dans l'urne après chaque tirage.\newline
A chaque tirage on notera :
B l'événement : "obtenir une boule blanche"
N l'événement : "obtenir une boule noire"
\noindent On considère la variable aléatoire $X$ qui prend la valeur $n$ ($%
n\in \mathbb{N}$, $n\geqslant 2$) si on obtient pour la première fois la
succession "BN", B étant obtenu au tirage $(n-1)$ et $N$ au tirage $n$.%
\newline
Par exemple si on obtient la succession "NNBBBBN" alors $X=7$.
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités des événements :
$A_{1}$ : "$(X=n)$ et il n'y a eu que des boules blanches au cours des $(n-2)
$ premiers tirages"
$A_{2}$ : "$(X=n)$ et il n'y a eu qu' une seule boule noire au cours des $%
(n-2)$ premiers tirages"
$A_{3}$ : "$(X=n)$ et il n'y a eu que deux boules noires au cours des $(n-2)$
premiers tirages"
\item Déterminer $P(X=5)$
\item Démontrer que $\forall k\in \mathbb{N},\quad k\geqslant 2\quad
P(X=k)=p^{k}\times \sum\limits_{i=1}^{k-1}\left( \dfrac{1-p}{p}\right) ^{i}$
\end{enumerate}
\item Calculer l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$.
\end{enumerate}
\section*{Exercice 3}
\begin{enumerate}
\item On considère une fonction f continue sur $[0,1]$ et à valeurs dans $%
\mathbb{R}_{+}$.
Pour $x\in \lbrack 0,1]$, on considère la suite $(u_{n}(x))_{n>0}$ définie
par :
\begin{equation*}
u_{n}(x)=\prod\limits_{k=1}^{n}\left[ 1+\dfrac{x}{n}f\left( \dfrac{k}{n}%
\right) \right]
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Soit $u\in \lbrack 0,+\infty \lbrack $ montrer que : $u-\dfrac{u^{2}}{2%
}\leqslant \ln (1+u)\leqslant u$
\item soit $M=\sup\limits_{t\in \lbrack 0,1]}f(t)$ montrer que : $%
\sum\limits_{k=1}^{n}\left[ \dfrac{x}{n}f(\dfrac{k}{n})\right] ^{2}\leqslant
\dfrac{M^{2}x^{2}}{n}$
\item On pose $v_{n}(x)=\ln (u_{n}(x))$ montrer que : $\underset{%
n\rightarrow +\infty }{\lim }v_{n}(x)=x\dint\limits_{0}^{1}f(t)dt$
\end{enumerate}
\item Application
On se place dans cette question dans le cas particulier où la fonction $f$
est définie par :%
\begin{equation*}
f:\left\{
\begin{tabular}{lll}
$\lbrack 0,1]$ & $\rightarrow $ & $\mathbb{R}_{+}$ \\
$t$ & $\mapsto $ & $t^{2}e^{-t}$%
\end{tabular}%
\right.
\end{equation*}%
Déterminer, dans le cas où $x=\dfrac{1}{2}$, $\underset{n\rightarrow +\infty
}{\lim }v_{n}(\dfrac{1}{2})$.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}