<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st


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\begin{document}


\begin{center}
{\Large ISC 1986 Option technologique\vspace{2cm}}
\end{center}

\section*{EXERCICE 1}

(\textit{Les données et le scénario sont fictifs})\newline
Dans une entreprise, la répartition des salaires mensuels est la suivante : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Salaires &amp; effectifs en \% \\ \hline
\lbrack 5000, 6000[ &amp; 21 \\ \hline
]6000,7500] &amp; 29 \\ \hline
]7500,9000] &amp; 27 \\ \hline
]9000,10000] &amp; 3 \\ \hline
]10000,11000] &amp; 17 \\ \hline
]11000,23000] &amp; 3 \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
(Ce tableau signifie par exemple que 27 \% des salariés ont un salaire
strictement supérieur à 7500 F mais inférieur ou égal à 9000 F)

\begin{enumerate}
\item Représenter l'histogramme de cette série statistique (1 cm en abscisse
représentant 1000 F). Calculer sa moyenne arithmétique et son écart-type.

\item Construire la courbe de concentration (ou courbe de Gini) de cette sé%
rie statistique et calculer son indice de concentration (ou indice de Gini)%
\newline
(1 cm en abscisse ou en ordonnée représentant 10 \%. Les calculs nécessaires
seront faits avec 4 chiffres significatifs et on construira la courbe et
l'histogramme sur la même feuille)

\item Le chef de cette entreprise décide d'augmenter tous les salariés de
1000 F par mois.

\begin{enumerate}
\item Quel est l'écart-type de la série statistique après augmentation ?

\item Quel est l'indice de Gini de la série statistique des salaires après
augmentation ? Conclusion ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE 2}

Trois joueurs A,B,C jouent une succession de parties équitables et indé%
pendantes, selon le protocole suivant :

\begin{itemize}
\item Tant qu'il n'y a pas de joueur déclaré vainqueur, deux joueurs
s'affrontent et le perdant est remplacé par le joueur qui attend pour la
partie suivante.

\item Est déclaré vainqueur le premier joueur qui gagne deux parties consé%
cutives.

\item A et B jouent la première partie.
\end{itemize}

\noindent On note $A_{n}$ l'évènement "A gagne à l'issue de la $n^{i\grave{e}%
me}$ partie" et on définit de même les évènements $B_{n}$ et $C_{n}.$

\begin{enumerate}
\item Tracer l'arbre des possibilités jusqu'à la $4^{i\grave{e}me}$ partie.

\item Quelle est la probabilité que A soit déclaré vainqueur à l'issue de la 
$2^{i\grave{e}me}$ partie ? de la $3^{i\grave{e}me}$ ? de la $4^{i\grave{e}%
me}$ partie ? de la $5^{i\grave{e}me}$ ?

\item Quelle est la probabilité que A soit déclaré vainqueur ? Que B soit dé%
claré vainqueur ?

\item Quelle est la probabilité que C soit déclaré vainqueur ?

\item Soit $X$ le nombre aléatoire de parties jouées jusqu'à l'obtention
d'un vainqueur. Quelle est la loi de $X$ ?
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE 3}

Soit $\lambda $ un paramètre réel. On considère la fonction $f_{\lambda }$ dé%
finie par :%
\begin{equation*}
f_{\lambda }(x)=x^{\lambda }e^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Quel est le domaine de définition de $f_{\lambda }$ ? Peut-on
prolonger $f_{\lambda }$ par continuité ?

\item Etudier, en fonction des valeurs du paramètre $\lambda ,$ les
variations de $f_{\lambda }$ et indiquer sur un même graphique les diffé%
rentes formes de courbes obtenues.

\item Pour quelles valeurs de $\lambda ,$ la représentation graphique de $%
f_{\lambda }$ admet-elle au moins un point d'inflexion ?\newline
(On ne demande pas de déterminer ces éventuels points d'inflexion).
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE 4}

On considère la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}^{\times }}$ définie par son
premier terme $u_{1}=1$ et la relation de récurrence :%
\begin{equation*}
\forall n\geqslant 1,\quad u_{n+1}=\ln (1+u_{n})
\end{equation*}%
(où $\ln $ désigne la fonction logarithme népérien)

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}^{\times }}$ est dé%
croissante et minorée par $0.$\newline
Déterminer la limite de cette suite.

\item Montrer que pour $n\geqslant 1,$ on a :%
\begin{equation*}
u_{n}&gt;\ln \left( 1+\dfrac{1}{n}\right) &gt;\dfrac{1}{n+1}
\end{equation*}

\item Pour $n\geqslant 1,$ on pose $S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}.$\newline
Montrer que $S_{2n}-S_{n}$ ne tend pas vers zéro lorsque $n$ tend vers
l'infini.\newline
Que peut-on en déduire pour la suite $(S_{n})_{n\in \mathbb{N}^{\times }}$ ?

\item Montrer que pour $x\geqslant 1,$ on a $\ln \left( 1+\dfrac{3}{x}%
\right) &lt;\dfrac{3}{x+1}.$ En déduire que l'on a :%
\begin{equation*}
\forall n\geqslant 1,\quad u_{n}&lt;\dfrac{3}{n+1}.
\end{equation*}%
Que peut-on dire de la suite $(T_{n})_{n\in \mathbb{N}^{\times }}$ définie
par $T_{n}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots +u_{n}^{2}$ ?\newline
(On pourra montrer que $\dfrac{1}{(n+1)^{2}}&lt;\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})$
\end{enumerate}

\label{fin}

\end{document}
</pre></body></html>