%BECHATA Abdellah
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\begin{document}
\begin{center}
{\Large ISC 1988 Option économique et technologique\vspace{2cm}}
\end{center}
\section*{EXERCICE 1}
Cent chefs de famille d'un même quartier ont répondu à un sondage concernant
à la fois le revenu mensuel de la famille $(X)$ et le nombre de véhicules
automobiles possédés $(Y).$ Les différentes réponses ont été regroupées dans
le tableau suivant :%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|}
$_{Y}\diagdown ^{X}$ & $[5,7[$ & $[7,10[$ & $[10,15[$ & $[15,25[$ & $[25,40]$
\\ \hline
$0$ & $5$ & $4$ & $4$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$1$ & $9$ & $12$ & $15$ & $3$ & $5$ \\ \hline
$2$ & $1$ & $8$ & $10$ & $12$ & $8$ \\ \hline
$3$ & $0$ & $1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
(Les relevés étant exprimés en milliers de Francs, ce tableau signifie donc,
par exemple, que $12$ personnes gagne au moins $7$ $000$ F par mois, mais
moins de $10$ $000$ F, déclarent posséder $1$ voiture)
\begin{enumerate}
\item Déterminer les lois marginales du couple $(X,Y)$ et le coefficient de
corrélation entre $X$ et $Y.$
\item Déterminer l'indice de concentration (aussi l'indice de Gini) de la
statistique $X$ et la médiale de $X.$
\item Déterminer le salaire moyen d'un chef de famille possédant au moins un
véhicule automobile.
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 2}
Soit $n$ un nombre entier naturel non nul. Une urne contient initialement $n$
boules noires et $2n$ boules blanches. On tire des boules au hasard de cette
urne, une à une et sans remise, jusqu'à ce que l'on obtienne la dernière
boule. On note $X_{n}$ le nombre aléatoire de tirages ainsi effectués.
\begin{enumerate}
\item Dans les deux cas $:n=1$, puis $n=2,$ déterminer la loi de $X_{n},$
son espérance et sa variance.
\item Dans le cas général, déterminer les valeurs que peut prendre $X_{n},$
puis la loi de $X_{n}.$
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des évènements "$X_{1}\leqslant 2",$ "$%
X_{2}\leqslant 4".$
\item Dans le cas général, calculer la probabilité de l'évènement "$%
X_{n}\leqslant 2n".$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 3}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie par
\begin{equation*}
f(x)=\dfrac{1}{1+x}+\ln \left( \dfrac{x}{1+x}\right) ,
\end{equation*}%
où $\ln $ désigne la fonction logarithme népérien.
\begin{enumerate}
\item Quel est le domaine de définition de $f$ ?
\item Etudier les variations de $f.$
\item Construire la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé
(l'unité sera prise égale à $3$ cm).
\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie par :%
\begin{equation*}
g(x)=x\ln \left( \dfrac{x}{1+x}\right)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Quel est le domaine de définition de $g$ ? peut-on prolonger $g$ par
continuité ?\newline
Cet éventuel prolongement est-il dérivable ?
\item Construire la représentation graphique $\Gamma $ de $g$ dans le même
repère que précédemment.
\item Calculer l'aire de la surface limité par $\Gamma ,$ la droite
horizontale d'ordonnée $-1$ et les droites verticales d'abscisses
respectives $1$ et $\alpha ,$ avec $\alpha >1.$ Cette aire a-t-elle une
limite lorsque $\alpha $ tend vers l'infini ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 4}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction définie et continue sur le segment $[0,1].$%
\newline
Montrer que, parmi les primitives de $f,$ il en existe exactement une, noté $%
F,$ telle que :%
\begin{equation*}
\int\limits_{0}^{1}F(x)dx=0
\end{equation*}%
Déterminer $F$ pour $f$ définie par $:f(x)=e^{x}.$
\item On définit une suite $(P_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ de fonctions polynô%
mes par les conditions suivantes
\begin{itemize}
\item $P_{0}:x\mapsto 1$
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, $P_{n}$ est la primitive de $%
P_{n-1}$ telle que $\int\limits_{0}^{1}P_{n}(x)dx=0.$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les fonctions $P_{1},$ $P_{2},$ $P_{3},$ $P_{4},$ $P_{5}$
\item \label{b}Pour $n\in \{1,2,3,4,5\},$ quelle relation y-a-t-il entre $%
P_{n}(1-x)$ et $P_{n}(x)$ ?
\item \label{c}Pour $n\in \{1,2,3,4,5\},$ étudier les variations de $P_{n}$
sur le segment $[0,1]$, et en déduire le nombre de solutions appartenant à $%
[0,1]$ de l'équation $:P_{n}(x)=0.$
\item Peut-on généraliser les résultats obtenus en \ref{b} et \ref{c}, pour
tout entier naturel non nul $n$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}