%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
\usepackage{amsfonts}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{fancyhdr}
\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{Created=Wednesday, August 25, 2004 18:55:13}
%TCIDATA{LastRevised=Saturday, August 28, 2004 09:36:55}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
\geometry{margin={1cm,2cm}}
\pagestyle{fancy}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\begin{center}
{\Large ISC 1990 Option économique et technologique\vspace{2cm}}
\end{center}
\section*{EXERCICE 1}
On considère la série statistique suivante, donnant les cotations du quintal
de plomb au \textit{London Metal Exchange} pendant le mois de Février 1990.
(Cours transformés en francs français)
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
{\small Date} & {\small 1er} & {\small 2} & {\small 5} & {\small 7} &
{\small 8} & {\small 9} & {\small 12} & {\small 13} & {\small 14} & {\small %
15} & {\small 16} & {\small 19} & {\small 20} & {\small 21} & {\small 22} &
{\small 23} & {\small 26} & {\small 27} & {\small 28} \\ \hline
{\small Cours} & {\small 436} & {\small 446} & {\small 443} & {\small 440} &
{\small 443} & {\small 455} & {\small 468} & {\small 462} & {\small 468} &
{\small 470} & {\small 468} & {\small 484} & {\small 488} & {\small 504} &
{\small 532} & {\small 527} & {\small 528} & {\small 495} & {\small 533} \\
\hline
\end{tabular}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage statistique correspondant en plaçant les dates en
abscisse. (\textit{On fera en sorte de n'utiliser que la moitié de la
feuille de papier millimétré jointe}).
\item Quel est le coefficient de corrélation entre la date et le prix du
plomb ? (On indiquera les formules utilisées et les résultats intermédiaires
nécessaires à la compréhension du calcul).
\item La cotation du 27 Février semblant aberrante, déterminer l'équation de
la droite de régression du prix du plomb par rapport à la date obtenue en é%
liminant de la série statistique la cotation du 27 Février.
\item Un industriel doit acheter 10 tonnes de plomb à la date du 5 mars
1990, quel prix estimez-vous qu'il devra payer ?
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 2}
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $\varphi $ définie sur $\mathbb{R%
}_{+}^{\times }$ par :%
\begin{equation*}
\varphi (x)=\dfrac{\ln x}{x}
\end{equation*}%
($\ln $ désignant la fonction logarithme népérien).
\item Pour tout valeur du paramètre réel $m,$ on considère la fonction $%
f_{m},$ définie sur $\mathbb{R}_{+}^{\times }$ par :%
\begin{equation*}
f_{m}(x)=x\ln x-x+mx^{2}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Dire pourquoi $f_{m}$ est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}%
_{+}^{\times }$ et calculer les deux premières fonctions dérivées $%
f_{m}^{\prime }$ et $f"_{m}.$
\item Peut-on prolonger $f_{m}$ par continuité en $0$ ? Cet éventuel
prolongement est-il alors dérivable en $0$ ?
\item Indiquer, selon les valeurs de $m,$ le nombre de solutions de l'é%
quation $f_{m}^{\prime }(x)=0.$ \newline
En déduire les différentes formes possibles de la représentation graphique
de $f_{m}.$
\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement $f_{0},$ $f_{\ln 2},$ $f_{-\frac{1}{4}\ln 2}.
$ (\textit{On utilisera l'autre moitié de la feuille jointe}).
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 3}
Une urne contient $n$ jetons numérotés de $1$ à $n$, et on effectue des
tirages successifs d'un jeton de cette urne avec remise du jeton obtenu
avant le tirage suivant.
\begin{enumerate}
\item On note $X_{i}$ le numéro aléatoire obtenu au $i^{i\grave{e}me}$
tirage. Quelle est la loi de $X_{i}$ ? Son espérance ?
\item Dans cette question, on suppose que l'on a $:n=3,$ et on effectue deux
tirages.
\begin{enumerate}
\item Dresseer la liste des résultats possibles de cette épreuve.
\item On note $m$ le plus petit des deux numéros obtenus et $M$ le plus
grand des deux numéros obtenus.\newline
Quelles valeurs le couple $(m,M)$ peut-il prendre ? \newline
Déterminer la loi de ce couple et la loi de $M.$
\end{enumerate}
\item On suppose à nouveau $n$ quelconque, et on effectue $k$ tirages
successifs (où $k$ est un entier fixé supérieur ou égal à $2).$ On note $%
M_{k}$ le plus grand numéro obtenu au cours des $k$ tirages.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $M_{k}.$
\item Exprimer l'espérance de $M_{k}$ à l'aide d'une somme et déterminer la
limite de cette espérance lorsque $k$ tend vers l'infini.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 4}
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par
:%
\begin{equation*}
g(x)=x^{3}-5x-1
\end{equation*}%
En déduire que l'équation $x^{3}-5x-1=0$ possède trois racines que l'on
notera $a,b,c$ avec $a