%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\Large ISCID 1987 Option économique\vspace{2cm}}
\end{center}
\section*{PROBLEME I}
\begin{enumerate}
\item Soit $\mathcal{L}$ la fonction numérique d'une variable réelle définie
par :%
\begin{equation*}
\mathcal{L}(x)=\dfrac{2x}{x+1}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on peut trouver deux nombres réels $a$ et $b$ tels que :%
\begin{equation*}
\mathcal{L}(x)=a+\dfrac{b}{x+1}
\end{equation*}
\item \label{graphe L}Déterminer les variations de $\mathcal{L}$ et
construire avec soin la partie de sa courbe représentative comprise entre
les points d'abscisses $0$ et $1$ (l'unité graphique : 10 cm)
\end{enumerate}
\item On considère la suite numérique $u$ définie par :%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
u_{0}=\dfrac{1}{2} \\
u_{n+1}=\mathcal{L}(u_{n})%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $u$ est définie sur $\mathbb{N}$ et que, pour tout entier $%
n.$
\item Représenter $u_{0},$ $u_{1},$ $u_{2},$ $u_{3}$ sur le graphique du \ref%
{graphe L} en utilisant la courbe représentative de $\mathcal{L}.$
\item Déterminer la variation de $u$ et en déduire sa convergence. Calculer
sa limite $l.$
\item En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que, pour
tout entier naturel :%
\begin{equation*}
\left\vert u_{n+1}-l\right\vert \leqslant \dfrac{8}{9}\left\vert
u_{n}-l\right\vert
\end{equation*}%
et en déduire un entier naturel $n_{0}$ tel que :%
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\quad \forall n\geqslant n\Rightarrow \left\vert
u_{n}-l\right\vert \leqslant 10^{-3}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item On se propose d'expliciter le terme général de la suite $u$ en
utilisant le calcul matriciel :
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,$ $u_{n}$ est un rationnel.%
\newline
On pose $u_{n}=\dfrac{p_{n}}{q_{n}}$ où $p_{n}$ et $q_{n}$ sont des entiers
naturels non nuls.
\item Déterminer une matrice carrée d'ordre $2,$ à coefficients réels, $A$
telle que :%
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
p_{n+1} \\
q_{n+1}%
\end{pmatrix}%
=A%
\begin{pmatrix}
p_{n} \\
q_{n}%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}%
En déduire que
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
p_{n} \\
q_{n}%
\end{pmatrix}%
=A^{n}%
\begin{pmatrix}
1 \\
2%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\item Diagonaliser $A$ et en déduire les expressions de $p_{n},$ $q_{n}$ et $%
u_{n}$ en fonction de $n.$
\item En déduire le plus entier naturel $n$ tel que :%
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\quad \forall n\geqslant n_{1}\Rightarrow \left\vert
u_{n}-l\right\vert \leqslant 10^{-3}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{PROBLEME II}
L'objet de ce problème est d'évaluer la rapidité d'insertion d'une nouvelle
fiche dans un fichier classé pour deux méthodes simples.\newline
Nous supposerons le fichier totalement ordonné, par exemple, alphabé%
tiquement, et composé de $2^{n}$ fiches ($n$ étant un entier naturel non
nul) :%
\begin{equation*}
a_{1}a_{2^{n}}.$
\end{itemize}
\subsection*{Question préliminaire}
Dénombrer les positions possibles de la nouvelle fiche $x$ dans le fichier
\subsection*{Première partie}
La première méthode d'insertion consiste à comparer $x$ et $a_{1}$ et à
placer $x$ en tête du fichier si $x