%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\Large ISCID 1987 Option technologique\vspace{2cm}}
\end{center}
\begin{quote}
L'épreuve est constitué de deux exercices et d'un problème.
Les deux parties du problème sont largement indépendantes.
Les candidats sont invités à lire attentivement tout le sujet.
Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction\bigskip
\end{quote}
\noindent On rappelle que le logarithme népérien d'un réel $x$ strictement
positif se note $\ln (x)$ et l'exponentielle d'un réel $y$ se note $\exp (y)$
ou $e^{y}$
\section*{EXERCICE I}
Une entreprise fabrique trois articles $X_{1},$ $X_{2}$ et $X_{3}$ : chaque
article passe dans trois ateliers différents $Y_{1},$ $Y_{2}$ et $Y_{3}$
suivant la répartition horaire suivante :
\begin{itemize}
\item La fabrication d'une unité de $X_{1}$ nécessite deux heures d'atelier $%
Y_{1},$ cinq heures d'atelier $Y_{2}$ et trois heures d'atelier $Y_{3}$
\item La fabrication d'une unité de $X_{2}$ nécessite une heure d'atelier $%
Y_{1},$ trois heures d'atelier $Y_{2}$ et deux heures d'atelier $Y_{3}$
\item La fabrication d'une unité de $X_{3}$ nécessite une heure d'atelier $%
Y_{1},$ deux heures d'atelier $Y_{2}$ et deux heures d'atelier $Y_{3}$
\end{itemize}
\noindent On appelle $y_{1},$ $y_{2}$ et $y_{3}$ les nombres respectifs
d'heures d'ateliers $Y_{1},$ $Y_{2},$ $Y_{3}$ nécessaires à la fabrication
de $x_{1}$ unités de $X_{1},$ $x_{2}$ unités de $X_{2}$ et $x_{3}$ unité de $%
X_{3}$
\begin{enumerate}
\item Exprimer $y_{1},$ $y_{2},$ $y_{3}$ en fonction de $x_{1},$ $x_{2},$ $%
x_{3}.$ \newline
Donner une forme matricielle de ce résultat.
\item \label{inv A}Soit la matrice
\begin{equation*}
A=%
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
5 & 3 & 2 \\
3 & 2 & 2%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}%
Montrer que $A$ est inversible et calculer son inverse $A^{-1}.$
\item Montrer que $A^{3}-7A^{2}+4A-I_{3}=0$ où $I_{3}=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{pmatrix}%
.$\newline
En déduire une expression de $A^{-1}$ en fonction de $I_{3},$ $A$ et $A^{2}.$%
\newline
Retrouver le résultat du \ref{inv A}
\item Au cours d'un programme de fabrication, la charge horaire des diffé%
rents ateliers a été la suivante :%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$Y_{1}$ & $Y_{2}$ & $Y_{3}$ \\ \hline
235 & 585 & 420 \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Quelles ont été les quantités d'articles fabriqués ?
\item Le coût horaire, exprimier en francs, de chaque atelier est
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$Y_{1}$ & $Y_{2}$ & $Y_{3}$ \\ \hline
70 & 75 & 67 \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Evaluer le coût unitaire de chaque article fabriqué, le coût du programme de
fabrication précédent. Indiquer une écriture matricielle qui donne ces coûts.
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE II}
Les candidats sont invités à utiliser les programmes de leur calculatrice.%
\newline
Il n'est pas nécessaire de présenter les calculs sous la forme d'un tableau.%
\newline
\begin{eqnarray*}
&&%
\begin{tabular}{c}
Evolution de la consommation médicale et de la consommation des ménages franç%
ais entre 1975 et 1985 \\
(INSEE, Tableau de l'économie française)%
\end{tabular}
\\
&&%
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Année & Rangs de l'année & Consommation médicale & Consommations des ménages
\\
& $t_{i}$ & en millions de frans & en millions de francs \\ \hline
1975 & 0 & 97 223 & 895 011 \\
1976 & 1 & 113 765 & 1 037 169 \\
1977 & 2 & 127 438 & 1 166 308 \\
1978 & 3 & 151 636 & 1 328 806 \\
1979 & 4 & 176 601 & 1 517 634 \\
1980 & 5 & 205 413 & 1 742 652 \\
1981 & 6 & 242 058 & 2 005 798 \\
1982 & 7 & 282 105 & 2 306 244 \\
1983 & 8 & 318 714 & 2 551 062 \\
1984 & 9 & 353 776 & 2 757 255 \\
1985 & 10 & 394 047 & 2 984 413 \\ \hline
\end{tabular}%
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item On pose $u_{i}=\log x_{i}$ et $v_{i}=\log y_{i}$ ($\log $ : logarithme
décimal)\newline
Représenter sur un même graphique, dont on choisira avec soin les unité, les
nuages de points $M_{i}=(u_{i},t_{i})$ et $N_{i}=(v_{i},t_{i})$
\item Pour chacun des deux nuages, déterminer le point moyen, le coefficient
de corrélation linéaire. L'ajustement linéaire est-il valide ?
\item Déterminer les équations des droites de régression de $u$ en $t$ et de
$v$ en $t.$\newline
Les tracer sur le graphique précédent.
\item En déduire entre $x$ et $t$ et entre $y$ et $t,$ des relations du type
\begin{equation*}
x=ke^{t}\quad \text{et}\quad y=rd^{t}
\end{equation*}%
Préciser ces divers coefficients.
\item Quelle est la part consacrée par les français en 1985 à leur santé ?%
\newline
En utilisant les modèles précédents, en quelle année cette part sera-t-elle
doubler ?
\end{enumerate}
\section*{PROBLEME}
%TCIMACRO{%
%\TeXButton{TeX field}{\renewcommand{\theenumi}{\Alph{enumi}/}
%\renewcommand{\theenumii}{\arabic{enumii}}}}%
%BeginExpansion
\renewcommand{\theenumi}{\Alph{enumi}/}
\renewcommand{\theenumii}{\arabic{enumii}}%
%EndExpansion
\begin{enumerate}
\item On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0,+\infty \lbrack
$ par :%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{cc}
\forall x\in ]0,+\infty \lbrack , & f(x)=1+\dfrac{1}{x}-e^{-0,05x} \\
& g(x)=-1+0,05x^{2}e^{-0,05x}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $g$ et préciser les limites de $g$ aux
bornes de l'intervalle $]0,+\infty \lbrack .$
\item Quel est, sur $]0,+\infty \lbrack ,$ le nombre de solutions de l'é%
quation $g(x)=0.$\newline
On appelle $u$ la plus petite de ces solutions; déterminer $n\in \mathbb{N}$
tel que
\begin{equation*}
n10^{-1}