%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\Large ISCID 1999 Option technologique\vspace{2cm}}
\end{center}
\section*{Exercice 1}
\noindent Si $I_{n}$ est la matrice-unité d'ordre n, on posera, par
convention, $M^{0}=I_{n}$ pour toute matrice $M$, carrée d'ordre $n$.\newline
On notera $I$ la matrice-unité d'ordre $4$ (c'est-à-dire $I=I_{4})$\newline
Soient $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}},(b_{n})_{n\in \mathbb{N}},(c_{n})_{n\in
\mathbb{N}},(d_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ , les suites déterminées par la donné%
e de:%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{0}=2 \\
b_{{0}}=-1 \\
c_{{0}}=1 \\
d_{{0}}=-1%
\end{array}%
\right. \text{ et les relations de récurrence}:\left\{
\begin{array}{c}
a_{n+1}=-a_{n}-6b_{n}+9c_{n}-6d_{n} \\
b_{n+1}=3a_{n}+8b_{n}-9c_{n}+6d_{n} \\
c_{n+1}=2a_{n}+4b_{n}-4c_{n}+4d_{n} \\
d_{n+1}=a_{n}+2b_{n}-3c_{n}+4d_{n}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Soit, pour tout entier $n\geqslant 0$, $X_{n}=%
\begin{pmatrix}
a_{n} \\
b_{n} \\
c_{n} \\
d_{n}%
\end{pmatrix}%
$
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe une matrice $A$, carrée d'ordre $4$, telle que,
pour tout entier $n\geqslant 1$, $X_{n+1}=AX_{n}$.
\item Calculer $A^{2}$. Montrer qu'il existe deux réels $\alpha $ et $\beta $
tels que $A^{2}=\alpha A+\beta I$.
\item En déduire que $A$ est inversible. Présenter alors $A^{-1}$ sous forme
d'un tableau de nombres.
\end{enumerate}
\item Soient $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$, et $(v_{n})_{n\in \mathbb{N}}$,
les suites déterminées par :%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
u_{{0}}=1 \\
v_{{0}}=0%
\end{array}%
\right. \text{ et les relations de récurrence}:\left\{
\begin{array}{c}
u_{n+1}=-2v_{n} \\
v_{n+1}=u_{n}+3v_{n}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Montrer par récurrence que, pour tout entier $n\geqslant 1$, $%
A^{n}=u_{n}I+v_{n}A$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe une matrice $M$, carrée d'ordre $2$, telle que,
pour tout entier $n\geqslant 1$,%
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
u_{n+1} \\
v_{n+1}%
\end{pmatrix}%
=M%
\begin{pmatrix}
u_{{n}} \\
v_{{n}}%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\item Soit $P=%
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & -1%
\end{pmatrix}%
$. Montrer que $P$ est inversible, et calculer $P^{-1}.$
\end{enumerate}
\item Soit $D=P^{-1}MP$. Calculer $D$, puis, pour tout entier $n\geqslant 0$%
, $D^{n}$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier $n\geqslant 0$, $M^{n}=PD^{n}P^{-1}$.
\item Présenter alors $M^{n}$ sous la forme d'un tableau de nombres.
\item Exprimer $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Déduire de ce qui précède l'expression, pour tout entier $n\geqslant 0$%
, de $A^{n}$ sous la forme d'un tableau de nombres.
\item Donner alors l'expression de $a_{n},b_{n},c_{n},d_{n}$ en fonction de $%
n.$
\item L'expression de $A^{n}$ obtenue en a.) pour $n\geqslant 0$ est-elle
encore valable pour $n=-1$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 2}
\noindent On rappelle que $20.$
\item Calculer $I_{0}$, puis, en effectuant une intégration par parties, $%
I_{1}$.
\item De même, en effectuant une intégration par parties, trouver une
relation de récurrence entre $I_{n}$ et $I_{n+1}.$
Déduire de cette relation de récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
on a :
\begin{equation*}
0