<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st


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\begin{document}


\begin{center}
{\Large ISG 1980 Math I\vspace{2cm}}
\end{center}

Toutes les question traitées doivent être référencées avec précision.

La présentation ainsi que la rigueur des raisonnements ont une importance
fondamentale.\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textbf{Préliminaires\vspace{0.5cm}}
\end{center}

On désigne par $\mathbb{C}^{m}$ l'espace vectoriel sur $\mathbb{C},$ de
dimension $m,$ des $m$-uplets de nombres complexes, et par $\mathcal{L}(%
\mathbb{C}^{m})$ l'ensemble des endomorphismes de $\mathbb{C}^{m}$ $(m\in 
\mathbb{N}^{\times })\medskip $

On pose $\mathfrak{B}=(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},...,%
\overrightarrow{e_{m}})$ =, où $\overrightarrow{e_{i}}$ est le $m$-uplet
dont la $i^{i\grave{e}me}$ composante est égale à $1$ et dont les autres
composantes sont toutes nulles; on notera $\overrightarrow{0}$ l'élément
neutre de $\mathbb{C}^{m}.$

Sauf pour les $\overrightarrow{e_{i}},$ les lettres minuscules repré%
senteront de nombres complexes, et les lettres majuscules d'imprimerie, des $%
m$-uplets. Par exemple :%
\begin{equation*}
P=\sum\limits_{i=1}^{m}p_{i}\overrightarrow{e_{i}}.
\end{equation*}%
Enfin, on dira qu'une suite $(P_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ d'éléments de $%
\mathbb{C}^{m}$ converge dans $\mathbb{C}^{m}$ et a pour limite $Q$ si et
seulement si la suite numérique de terme général $u_{n}=\sum%
\limits_{i=1}^{n}\left\vert p_{i,n}-q_{i}\right\vert $ converge vers $0,$ $%
p_{i,n}$ et $q_{i}$ étant respectivement les composantes de rang $i$ de $%
P_{n}$ et $Q$ relativement à $\mathfrak{B}.$ On écrira simplement $%
:(P_{n})\rightarrow Q.$\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textbf{I\vspace{0.5cm}}
\end{center}

\begin{description}
\item[Q.1] \quad

\begin{enumerate}
\item Montrer que, quel que soit $\varphi \in \mathcal{L}(\mathbb{C}^{m}),$%
\begin{equation*}
\left[ (P_{n})\rightarrow \overrightarrow{0}\right] \Rightarrow \left[
(\varphi (P_{n}))\rightarrow \overrightarrow{0}\right] 
\end{equation*}

\item En déduire que, quel que soit $\varphi \in \mathcal{L}(\mathbb{C}^{m})$%
\begin{equation*}
\left[ (P_{n})\rightarrow Q\right] \Rightarrow \left[ (\varphi
(P_{n}))\rightarrow \varphi (Q)\right] 
\end{equation*}

\item Sous quelle condition, l'implication réciproque de la précédente
est-elle vraie ?
\end{enumerate}

\item[Q.2] Soit $\mathcal{S}=(\varphi _{n})_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'él%
éments de $\mathcal{L}(\mathbb{C}^{m})$ et $E(\mathcal{S})$ l'ensemble des él%
éments $P$ de $\mathbb{C}^{m}$ tels que la suite $(\varphi (P_{n}))_{n\in 
\mathbb{N}}$ converge dans $\mathbb{C}^{m}.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $E(\mathcal{S})$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C%
}^{m}.$

\item On définit l'application $\widehat{\varphi }$ de $E(\mathcal{S})$ dans 
$\mathbb{C}^{m}$ par la relation suivante, vraie quel que soit $P\in E(%
\mathcal{S})$ :%
\begin{equation*}
\widehat{\varphi }(P)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\varphi _{n}(P)
\end{equation*}%
Montrer que $\widehat{\varphi }$ est un homomorphisme de $E(\mathcal{S})$
dans $\mathbb{C}^{m}.$

\item On dira que $\mathcal{S}$ converge dans $\mathcal{L}(\mathbb{C}^{m})$
si et seulement si $E(\mathcal{S})=\mathbb{C}^{m},$ $\widehat{\varphi }$
s'appellera alors la limite de $\mathcal{S}$ et on écrira simplement $%
(\varphi _{n})\leadsto \widehat{\varphi }.$\newline
Soit $(X_{1},X_{2},...,X_{m})$ une base quelconque de $\mathbb{C}^{m}.$
Montrer que :%
\begin{equation*}
\left[ (\varphi _{n})\leadsto \widehat{\varphi }\right] \Leftrightarrow %
\left[ \forall X_{i},\quad \varphi _{n}(X_{i})\rightarrow \widehat{\varphi }%
(X_{i})\right] 
\end{equation*}

\item Soient $[a_{i,j}^{(n)}]$ et $[b_{i,j}]$ les matrices respectives de $%
\varphi _{n}$ et $\widehat{\varphi }$ \footnote{%
Relativement à une base donnée}. Montrer que :%
\begin{equation*}
\left[ (\varphi _{n})\leadsto \widehat{\varphi }\right] \Leftrightarrow %
\left[ \forall (i,j),\quad \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left\vert
a_{i,j}^{(n)}-b_{i,j}\right\vert =0\right] 
\end{equation*}

\item Soit $\varphi \in \mathcal{L}(\mathbb{C}^{m}).$ On définit la suite $%
\mathcal{S}=(\psi _{n})_{n\in \mathbb{N}}$ comme suit :%
\begin{equation*}
\psi _{0}=\func{Id},\quad \psi ^{1}=\varphi ,\quad \text{et pour }n\geqslant
2:\psi _{n}=\varphi \circ \psi _{n-1}
\end{equation*}%
Montrer que :%
\begin{equation*}
\left[ (\psi _{n})\leadsto \func{Id}\right] \Leftrightarrow \left[ \varphi =%
\func{Id}\right] 
\end{equation*}%
($\func{Id}$ désignant l'identité sur $\mathbb{C}^{m})$\vspace{0.5cm}
\end{enumerate}
\end{description}

\begin{center}
\textbf{II\vspace{0.5cm}}
\end{center}

On se place maintenant dans $\mathbb{C}^{4}.\ $Dans toute la suite, on note $%
\varphi $ l'application de $\mathbb{C}^{4}$ dans lui-même qui à $%
P=\sum\limits_{i=1}^{4}p_{i}\overrightarrow{e_{i}}$ fait correspondre 
\begin{equation*}
\varphi (P)=\dfrac{1}{2}\left[ (p_{1}+p_{2})\overrightarrow{e_{1}}%
+(p_{2}+p_{3})\overrightarrow{e_{2}}+(p_{3}+p_{4})\overrightarrow{e_{3}}%
+(p_{4}+p_{1})\overrightarrow{e_{4}}\right] 
\end{equation*}%
et on notera $V=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+%
\overrightarrow{e_{3}}+\overrightarrow{e_{4}}.$

\begin{description}
\item[Q.3] \quad

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\varphi \in \mathcal{L}(\mathbb{C}^{4}).$

\item Expliciter la matrice $M$ de $\varphi $ relativement à $\mathfrak{B}.$

\item Déterminer le noyau de $\varphi .$

\item Soit $\psi $ l'endomorphisme de $\mathbb{C}^{4}$ défini par :%
\begin{equation*}
\psi \left( \sum\limits_{i=1}^{4}p_{i}\overrightarrow{e_{i}}\right)
=(p_{1}-p_{2}+p_{3}-p_{4})V
\end{equation*}%
Montrer que $\ker \psi =\func{Im}\varphi .$

\item En identifiant $\mathbb{C}^{4}$ à l'ensemble des quadruplets du plan ré%
el, quelle interprétation géométrique donnez-vous du résultat précédent ?
\end{enumerate}

\item[Q.4] \quad

\begin{enumerate}
\item Expliciter les matrice de $\varphi ,$ $\varphi ^{2}$ et $\varphi ^{3}$
relativement à $\mathfrak{B}.$

\item En notant $\equiv $ la congruence dans $\mathbb{Z}$ modulo $4,$
montrer que, quel que soit $(a,b)\in \mathbb{N}^{2}$%
\begin{equation*}
\sum\limits_{\substack{ i\equiv k \\ 0\leqslant i\leqslant n}}%
C_{n}^{i}+\sum\limits_{\substack{ i\equiv k+1 \\ 0\leqslant i\leqslant n}}%
C_{n}^{i}=\sum\limits_{\substack{ i\equiv k+1 \\ 0\leqslant i\leqslant n+1}}%
C_{n+1}^{i}
\end{equation*}

\item En déduire la forme générale de la matrice $\varphi ^{n}.$
\end{enumerate}

\item[Q.5] \quad

\begin{enumerate}
\item Montrer que $V$ est un vecteur propre de $\varphi $ et préciser la
valeur propre correspondante.

\item Déterminer tous les vecteurs propres.

\item Donner pour chacune d'elles, le veecteur propre correspondant, dont la
première composante relativement à $\mathfrak{B}$ est égale à $1.$

\item Exprimer la matrice de $\varphi $ relativement à la base $\mathfrak{B}%
_{0}=(V,V_{1},V_{2},V_{3})$ des vecteurs propres de $\varphi $ calculés à la
question précédente, $V_{2}$ et $V_{3}$ étant associés aux valeurs propres
non réelles de $\varphi .$

\item En déduire que la suite $(\psi _{n})_{n\in \mathbb{N}}$ définie par 
\begin{equation*}
\psi _{0}=\func{Id},\quad \psi =\varphi \qquad \text{et pour tout }%
n\geqslant 2\text{ par }\psi _{n}=\varphi \circ \psi _{n-1},
\end{equation*}%
converge dans $\mathcal{L}(\mathbb{C}^{4})$ et préciser sa limite. Interpré%
tation géométrique ?

\item En déduire la limite, quand $n\rightarrow +\infty n$ de la suite de
terme général 
\begin{equation*}
u_{n}=\dfrac{1}{2^{n}}\left( p_{1}\sum\limits_{\substack{ i\equiv 0 \\ %
0\leqslant i\leqslant n}}C_{n}^{i}+p_{2}\sum\limits_{\substack{ i\equiv 1 \\ %
0\leqslant i\leqslant n}}C_{n}^{i}+p_{3}\sum\limits_{\substack{ i\equiv 2 \\ %
0\leqslant i\leqslant n}}C_{n}^{i}+p_{4}\sum\limits_{\substack{ i\equiv 3 \\ %
0\leqslant i\leqslant n}}C_{n}^{i}\right) 
\end{equation*}%
où $(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})$ est un élément quelconque de $\mathbb{C}^{4}$
\end{enumerate}

\item[Q.6] Vous avez certainement compris que, à une identification près, $%
\func{Im}(\varphi )$ n'est autre que l'ensemble des parallélogrammes du plan
réel. On appellera "carré" tout élément $P$ de $\func{Im}(\varphi )$ vé%
rifiant les conditions :%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{l}
\alpha \quad \left\vert p_{3}-p_{1}\right\vert =\left\vert
p_{4}-p_{2}\right\vert  \\ 
\beta .\quad \func{Re}\left[ (p_{3}-p_{1})(\overline{p_{4}}-\overline{p_{2}})%
\right] =0%
\end{array}%
\right. 
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la signification géométrique de $\alpha $ ?

\item Quelle est la signification géométrique de $\beta $ ?

\item Montrer que tout "carré" $P$ se décompose d'une manière unique sous la
forme :%
\begin{equation*}
P=\lambda _{1}V+\lambda _{2}V_{2}+\lambda _{3}V_{3}\text{ avec }\lambda
_{2}\lambda _{3}=0
\end{equation*}

\item Montrer que tous les éléments de $\mathbb{C}^{4}$ qui se décompose
ainsi sont des "carrés"

\item Calculer $\lambda _{1},$ $\lambda _{2}$ et $\lambda _{3}$ en fonction
des $p_{i}$
\end{enumerate}
\end{description}

Soit $P$ un élément de $\mathbb{C}^{4}$ et $\sigma $ un endomorphisme de $%
\mathbb{C}^{4}.$ On dira que $\sigma $ "translate" $P$ s'il existe un
complexe $p$ tel que $\sigma (P)=P+pV.$ On notera $T(\sigma )$ l'ensemble
des éléments de $\mathbb{C}^{4}$ que $\sigma $ "translate", $\mathfrak{S}$
l'ensemble des endomorphisme de $\mathbb{C}^{4}$ qui "translatent" tous les é%
léments de $\mathbb{C}^{4}$ et $\mathfrak{S}_{0}$ l'ensemble des
automorphismes de $\mathbb{C}^{4}$ qui appartiennent à $\mathfrak{S}.$

\begin{description}
\item[Q.7] \quad

\begin{enumerate}
\item Montrer que, quel que soit $\sigma \in \mathcal{L}(\mathbb{C}^{4}),$ $%
T(\sigma )$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}^{4}.$

\item Montrer que $\mathfrak{S}$ est isomorphe à $\mathbb{C}^{4}$ (Préciser
les opérations).

\item Montrer que $\mathfrak{S}_{0}$, muni de la composition des
applications, est un groupe non commutatif.

\item Montrer que si $\sigma \in \mathfrak{S},$ $1$ est valeur propre de $%
\sigma $ avec un ordre de multiplicité au moins égal à $3.$

\item Expliciter une famille libre de trois vecteurs propres de $\sigma $
associés à la valeur propre $1,$ en fonction des $\overrightarrow{e_{i}}$ et
des $a_{i},$ où $\sigma (\overrightarrow{e_{i}})=\overrightarrow{e_{i}}%
+a_{i}V.$

\item Montrer que, si $\sigma \in \mathfrak{S},\quad \left[ a\in \mathfrak{S}%
_{0}\right] \Leftrightarrow \left[ \sigma (V)\neq \overrightarrow{0}\right] .
$

\item Posant $\sigma (V)=V+vV,$ redémontrer la question précédente en
calculant le déterminant de $\sigma $ en fonction de $v.$
\end{enumerate}

\item[Q.8] Soient $\sigma \in \mathfrak{S}$ et $P\in \mathbb{C}^{4}.$ On
pose $\sigma (V)=V+vV$ et $\sigma (P)=P+pV.$

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
&amp; $v=0$ &amp; $v\neq 0$ \\ \hline
$p=0$ &amp; $\sigma ^{n}(P)=\cdots $ &amp; $\sigma ^{n}(P)=\cdots $ \\ \hline
$p\neq 0$ &amp; $\sigma ^{n}(P)=\cdots $ &amp; $\sigma ^{n}(P)=\cdots $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\item En déduire une condition nécessaire et suffisante sur $v$ pour que la
suite des $\sigma ^{n}$ converge dans $\mathcal{L}(\mathbb{C}^{4}).$

\item Préciser cette limite lorsqu'elle existe.

\item Montrer que si $\sigma $ et $\tau $ sont deux éléments de $\mathfrak{S}
$ tels que la suite des $\sigma ^{n}$ et la suite des $\tau ^{n}$ convergent
toutes les deux dans $\mathcal{L}(\mathbb{C}^{4}),$ $\sigma \circ \tau $ est
aussi un élément de $\mathfrak{S}$ tel que la suite des $(\sigma \circ \tau
)^{n}$ converge dans $\mathcal{L}(\mathbb{C}^{4}).$
\end{enumerate}
\end{description}

\label{fin}

\end{document}
</pre></body></html>