%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\Large ISG 1983 épreuve commune Math II\vspace{2cm}}
\textbf{NOTATIONS\medskip }
\end{center}
$\mathcal{C}$ désigne l'ensemble des fonctions réelles définies et continues
sur $\mathbb{R}_{+}^{\times }=]0,+\infty \lbrack \medskip $
$\mathcal{D}$ désigne l'ensemble des fonctions réelles définies et dé%
rivables sur $\mathbb{R}_{+}^{\times }\medskip $
$E$ désigne l'ensemble des éléments de $\mathcal{C}$ tels que l'intégrale $%
\int\limits_{0}^{1}tf(t)dt$ soit convergente$\medskip $
\noindent On rappelle que $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ sont des espaces
vectoriels réels pour l'addition des fonctions réelles et leurs
multiplication par les nombres réels. Pour les mêmes lois, il est clair que $%
E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}.\medskip $
La fonction nulle sur $\mathbb{R}_{+}^{\times }$ est notée $\omega .\medskip
$
$\ln $ désigne la fonction logarithme népérien\textbf{\vspace{0.5cm}}
\begin{center}
\textbf{A\medskip }
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $\alpha ,$ on note $f_{\alpha }$ la fonction définie
sur $\mathbb{R}_{+}^{\times }$ par $f_{\alpha }(x)=x^{\alpha }.$\newline
A quelle condition a-t-on $f_{\alpha }\in E$ ?
\item Pour tout entier naturel non nul $n,$ on note $h_{n}$ la fonction dé%
finie sur $\mathbb{R}_{+}^{\times }$ par $h_{n}(x)=(\ln x)^{n}.$ On pose en
outre $h_{n}(x)=1$\newline
Montrer que $\forall n\in \mathbb{N},\quad h_{n}\in E.$
\item Pour tout réel strictement positif $x$ et tout entier naturel $n,$ on
pose :%
\begin{equation*}
I_{n}(x)=\int\limits_{0}^{x}uh_{n}(u)du.
\end{equation*}%
Montrer que :%
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\quad I_{n}(x)=\dfrac{x^{2}}{2}\sum\limits_{p=0}^{n}%
\dfrac{(-1)^{p}}{2^{p}}A_{n}^{p}h_{n-p}(x)
\end{equation*}
\item On considère les fonctions définies sur $\mathbb{R}_{+}^{\times }$ par
:
\begin{enumerate}
\item \label{def f}$f(x)=\dfrac{1}{x^{2}\left\vert \ln x\right\vert ^{3/2}}$
si $x\in ]0,\dfrac{1}{e}]$ et $\forall x>\dfrac{1}{e},\quad f(x)=e^{2}.$
\item \label{def g}$g(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\sin \dfrac{1}{x}.$
\end{enumerate}
\noindent Montrer que $f$ et $g$ sont des éléments de $E.$\textbf{\vspace{%
0.5cm}}
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{B\medskip }
\end{center}
A tout élément $f$ de $E,$ on associe la fonction notée $Lf$ définie sur $%
\mathbb{R}_{+}^{\times }$ par :%
\begin{equation*}
(Lf)(x)=f(x)-\dfrac{2}{x^{2}}\int\limits_{0}^{x}tf(t)dt.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on définit, en posant $L(f)=LF,$ une application liné%
aire $L$ de $E$ dans $\mathcal{C}.$
\item En utilisant la fonction $f$ (partie \textbf{A}, \ref{def f}), montrer
que $E$ n'est pas stable par $L$ $(L(E)\not\subset E).$
\item On note $E^{\prime }$ l'ensemble des éléments $f$ de $\mathcal{C}$
pour lesquels il existe un réel $\alpha <2$ tel que $t^{\alpha }f(t)$ ait
une limite finie à droite en zéro :
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E^{\prime }$ est un sous-espace vectoriel de $E;$
\item Montrer que $E^{\prime }$ est stable par $L$\newline
La relation $:\forall f\in E,\quad \overline{L}(f)=Lf$ définit donc un
endomorphisme de $E^{\prime };$
\item On considère la fonction $g$ (partie \textbf{A}, \ref{def g}). Montrer
que $g$ n'est pas élément de $E^{\prime },$ mais que $L(g)\in E;$
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que tout élément du noyau de $L$ est dérivable sur $\mathbb{R}%
_{+}^{\times }.$\newline
Quel est ce noyau ?\newline
Qu'en déduit-on pour $L$ ? pour $\overline{L}$ ?
\item Résoudre dans $E:L(f)=f_{-2}.$ Conclusion ?
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item \label{prem equi}Soit $u\in \mathcal{D}\cap E.$ Montrer que :%
\begin{equation*}
L(f)=u\Rightarrow f\in E\cap \mathcal{D}\text{ et }\forall x>0,\quad
f^{\prime }(x)=2\dfrac{u(x)}{x}+u^{\prime }(x)
\end{equation*}
\item Etudier la réciproque. Modifier l'énoncé de \ref{prem equi} pour qu'il
y ait équivalence.
\item Résoudre l'équation $L(f)=h_{p}$ ($p$ entier naturel fixé)
\end{enumerate}
\item Pour tout réel $\lambda ,$ on pose $E_{\lambda }=\{f\in E$ tel que $%
L(f)=\lambda f\}$
\begin{enumerate}
\item Déterminer $E_{1}.$ Dans la suite, on suppose $\lambda \neq 1;$
\item \label{inclu}Montrer que $f\in E_{\lambda }\Rightarrow f\in E\cap
\mathcal{D}$ et $\forall x>0,\quad \dfrac{\lambda -1}{2}xf^{\prime
}(x)+\lambda f(x)=0;$
\item Déterminer le réel $\alpha $ tel que $f_{\alpha }\in E_{\lambda };$
\item Etablir les résultats suivants :
\begin{enumerate}
\item $E_{\lambda }\neq \{\omega \}\Leftrightarrow \lambda <1.$
\item $\forall \lambda <1,\quad f\in E_{\lambda }\Leftrightarrow \exists
k\in \mathbb{R}$ tel que $f=kf_{\frac{2\lambda }{1-\lambda }}$
\item $\forall \lambda \in \mathbb{R},\quad E_{\lambda }\subset E^{\prime }.$
En déduire qu'en \ref{inclu}, il y a équivalence.
\end{enumerate}
\item Conclure.
\end{enumerate}
\item Soit $F_{n}$ l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré $%
p\leqslant n.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F_{n}$ est stable par $L$ et donner la matrice de la
restriction de $L$ à $F_{n}$ dans la base $(1,x,..,x^{n});$
\item Résoudre $L(f)=1+x+\cdots +x^{n}.$\textbf{\vspace{0.5cm}}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{C\medskip }
\end{center}
Pour tout entie naturel $n,$ on désigne par $G_{n}$ le sous-espace vectoriel
de $E$ engendré par les fonctions :%
\begin{equation*}
(h_{p})_{0\leqslant p\leqslant n}.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(h_{p})_{0\leqslant p\leqslant n}$ est une base de $G_{n}.
$
\item \label{res}Montrer que l'on définit un endomorphisme $L_{n}$ de $G_{n}$
en posant :%
\begin{equation*}
\forall f\in G_{n},\quad L_{n}(f)=Lf.
\end{equation*}%
En donnant la matrice dans la base précédente.
\item On pose $L_{n}^{0}=I_{n}$ (application identique de $G_{n})$ et :%
\begin{equation*}
\forall p\geqslant 1,\quad L_{n}^{p}=L_{n}\circ L_{n}^{p-1}.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $L_{n}^{n+1}=0;$
\item \label{I-L}En déduire que $(I_{n}-L_{n})$ est inversible et donner son
inverse $\Phi _{n}$ en fonction de $L_{n};$
\item En utilisant \ref{res} et \ref{I-L}, résoudre dans $%
G_{n}:(I_{n}-L_{n})(f)=h_{2};$
\item Retrouver ce dernier résultat par un calcul direct.
\end{enumerate}
\item Donner la matrice de $\Phi _{n}$ dans la base $(h_{p})_{0\leqslant
p\leqslant n}.$
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{FIN}
\end{center}
\label{fin}
\end{document}