%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\Large ISG 1986 épreuve commune Math II\vspace{2cm}}
\end{center}
\section*{NOTATIONS}
$x$ désigne une variable réelle; $n$ un entier naturel.\newline
Si $P$ est une fonction polynôme, $P^{\prime }$ et $P"$ désignent, de maniè%
re classique, les dérivées premières et secondes.\newline
Les candidats pourront utiliser les résultats du préliminaire, dans la suite
du problème, même s'ils ne les ont pas établis.\newline
Les parties I et II sont indépendantes.
\section*{PRELIMINAIRES}
\begin{enumerate}
\item Discuter, suivant les valeurs de $x,$ l'existence d'une limite, quand $%
n$ tend vers $+\infty ,$ pour les suites de terme général :%
\begin{equation*}
nx^{n}\text{ et }n^{2}x^{n}.
\end{equation*}
\item On considère que les séries de terme général
\begin{equation*}
nx^{n}\text{ et }n^{2}x^{n}.
\end{equation*}%
Montrer que pour $\left\vert x\right\vert \geqslant 1,$ ces séries divergent.
\item On pose
\begin{eqnarray*}
Q_{n}(x) &=&1+x+x^{2}+\cdots +x^{n} \\
R_{n}(x) &=&x+2x+\cdots +nx^{n}
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item Etablir une relation simple entre $R_{n}(x)$ et $Q_{n}^{\prime }(x).$
\item En déduire que la série de terme général $nx^{n}$ converge pour $%
\left\vert x\right\vert <1$ et établir que sa somme $\sum\limits_{n=1}^{+%
\infty }nx^{n}$ a pour valeur $\dfrac{x}{(1-x)^{2}}.$
\end{enumerate}
\item On pose $T_{n}(x)=x+2^{2}x^{2}+3^{2}x^{3}+\cdots +n^{2}x^{n}.$
\begin{enumerate}
\item En remarquant que $:\forall p\in \mathbb{N}^{\times },\quad
p^{2}=p(p-1)+p,$ écrire $T_{n}(x)$ à l'aide de $Q_{n}"(x)$ et $R_{n}(x).$
\item En déduire que, pour $\left\vert x\right\vert <1,$ la série de terme gé%
néral $n^{2}x^{n}$ est convergente et que sa somme $\sum\limits_{n=1}^{+%
\infty }n^{2}x^{n}$ vaut $\dfrac{x(x+1)}{(1-x)^{3}}.$
\end{enumerate}
\item \label{ag}Soit une suite numérique $(u_{n})$ définie par :
\begin{itemize}
\item le premier terme $u_{1}$
\item et pour tout $n\geqslant 1,$ la relation%
\begin{equation*}
u_{n+1}=au_{n}+b,
\end{equation*}%
où $a$ est un réel différent de $0$ et de $1,$ et $b$ un réel quelconque.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe $\alpha $ tel que la suite $(u_{n}-\alpha )$ soit
géométrique.
\item Donner la valeur de $u_{n}$ en fonction de $u_{1},$ $a,$ $b$ et $n.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{CONDITIONS VALANT POUR LES PARTIES I ET II}
Une urne est composée de $N$ boules $(N\geqslant 2),$ de couleurs toutes diff%
érentes.\newline
On effectue dans cette urne, une "série de tirages" AVEC REMISE de telle
sorte que la composition de l'urne reste fixe et qu'à chaque tirage la
probabilité de tirer une boule de couleur donnée est $\dfrac{1}{N}.$
\subsection*{PARTIE I}
Dans cette partie $N=3.$ Les couleurs des boules seront BLANC, NOIR, ROUGE.%
\newline
On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de boules tirées, quand
pour la première fois, $2$ couleurs exactement ont été tirées.\newline
On appelle $Z$ la variable aléatoire égale au nombre de boules tirées, quand
pour la première fois, $3$ couleurs exactement ont été tirées.
\subsubsection*{EXEMPLE}
\begin{quotation}
Si les tirages donnent successivement : BLANC, BLANC, BLANC, ROUGE alors $Y=4
$\newline
Si les tirages donnent successivement : BLANC, ROUGE, ROUGE, BLANC, NOIR
alors $Y=2$ et $Z=3$
\end{quotation}
\begin{enumerate}
\item Donner la loi de $Y.$
\item $m$ et $k$ désignent deux entiers naturels non nuls.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement $(Z=m$ et $Y=k).$\newline
On précisera les choix de $m$ et $k$ pour lesquels cette probabilité est non
nulle.
\item En déduire que la loi de $Z$ est donnée par :%
\begin{eqnarray*}
m &\leqslant &2:P(Z=m)=0 \\
m &\geqslant &3:P(Z=m)=\left( \dfrac{2}{3}\right) ^{m-1}-\dfrac{2}{3^{m-1}}.
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\item Calculer $E(Z),$ $E(Z^{\prime }),$ $VZ).$
\end{enumerate}
\subsection*{PARTIE II}
Dans cette partie, on effectue une suite de $n$ tirages, dans les conditions
déjà précisées. $N$ est quelconque $(N\geqslant 2).$\newline
$X_{n}$ est la variable aléatoire égale au nombre de couleurs (différentes)
obtenues au cours des $n$ tirages.\newline
On pose, pour $n\in \mathbb{N}^{\times },$ $k\in \mathbb{N}:$%
\begin{equation*}
p(n,0)=0\text{ et }p(n,k)=P(X_{n}=k=\text{ si }k\geqslant 1.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Que dire de $p(n,k)$ si $k>n$ ? si $k>N$ ?
\item Calculer $p(n,1)$ et $p(n,n).$
\item Etablir, pour $1\leqslant k\leqslant N,$ la relation :%
\begin{equation*}
p(n+1,k)=\dfrac{k}{N}p(n,k)+\dfrac{N-k+1}{N}p(n,k-1)
\end{equation*}%
On pourra examiner les cas suivants $:k\leqslant n;\quad k=n+1;\quad k>n+1$
\item On introduit (pour $n\in \mathbb{N}^{\times })$ le polynôme $P_{n}(X)$
défini par :%
\begin{equation*}
P_{n}(X)=\sum\limits_{k=0}^{N}p(n,k)X^{k}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Que représente $P_{n}^{\prime }(1)$ pour la variable aléatoire $X_{n}$
?
\item Etablir :%
\begin{equation*}
P_{n+1}(X)=\dfrac{1}{N}(X-X^{2})P_{n}^{\prime }(X)+XP_{n}(X).
\end{equation*}
\item Trouver une relation simple entre $P_{n+1}^{\prime }(1)$ et $%
P_{n}^{\prime }(1).$
\item Calculer $E(X_{n})$ en fonction de $N$ et $n.$ On pourra se servir du
préliminaire, question \ref{ag}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}