<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st


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\begin{document}


\begin{center}
{\Large ISG 1987 Option générale Math I\vspace{2cm}}
\end{center}

\section*{PREMIERE PARTIE}

$k$ étant un réel positif, on considère la famille de fonctions $f_{k}$ dé%
finies sur $\mathbb{R}$ par 
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{c}
x&gt;0,\qquad f_{k}(x)=x^{k}e^{-x} \\ 
\text{et }f_{k}(0)=0\text{ si }k&gt;0\text{ et }f_{0}(0)=1%
\end{array}%
\right. 
\end{equation*}%
La représentation graphique de $f_{k}$ sera notée $(C_{k})$

\begin{enumerate}
\item Etude locale en $0$

\begin{enumerate}
\item $f_{k}$ est-elle continue en $0$ ?

\item $f_{k}$ est-elle dérivable en $0$ ?

\item Préciser la forme de $C_{k}$ au voisinage du point d'abscisse nulle.
\end{enumerate}

\item Etude des intervalles de monotonie de $f_{k}.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour $x&gt;0,$ $f_{k}$ est dérivable et étudier le signe de $%
f_{k}^{\prime }.$

\item Montrer que $f_{k}$ admet un extremum; on notera $M_{k}$ le point
correspondant de $(C_{k}).$
\end{enumerate}

\item Etude au voisinage de $+\infty $\newline
Etudier la limite de $f_{k}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty ;$ conclure sur
la forme de la branche infinie correspondante pour $(C_{k}).$

\item Etudes complémentaires.

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble $(L)$ des points $M_{k}$ lorsque $k$ parcourt $%
\mathbb{R}_{+}$ ?

\item Montrer que, pour $k&gt;1,$ $(C_{k})$ admet deux points d'inflexion et
que, pour $0\leqslant k\leqslant 1,$ $(C_{k})$ admet un point d'inflexion.

\item Etudier pour $0\leqslant k&lt;m,$ le signe de $f_{m}(x)-f_{k}(x)$ selon
les valeurs de $x$ et en déduire la position relative de $(C_{m})$ et $%
(C_{k}).$
\end{enumerate}

\item Représentation graphique\newline
On prend un repère orthonormé : l'unité est de $5$ cm.

\begin{enumerate}
\item Calculer à $10^{-1}$ près les coordonnées de $M_{0},$ $M_{1/2},$ $%
M_{1},$ $M_{2}$

\item Représenter sur un même dessin $(L),$ $(C_{0}),$ $(C_{1/2}),$ $(C_{1}),
$ $(C_{2}).$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{quotation}
\textbf{Les candidats veilleront particulièrement au soin et à l'exactitude
du dessin compte-tenu des renseignements obtenus dans les questions précé%
dentes}
\end{quotation}

\section*{DEUXIEME PARTIE}

Dans cette partie, $k$ est un entier naturel.\newline
$E$ désigne l'espace vectoriel des fonctions polynômes, à coefficients ré%
els, de degré inférieur à $2.$ A tout polynôme $p$ défini par :%
\begin{equation*}
p(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}
\end{equation*}%
l'on associe la matrice unicolonne $P$ telle que $P=%
\begin{pmatrix}
p_{0} \\ 
p_{1} \\ 
p_{2}%
\end{pmatrix}%
$ des composantes de $p$ dans la base canonique de $E.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que, quel que soit le polynôme $p,$ l'intégrale impropre $%
\int\limits_{0}^{+\infty }p(t)e^{-t}dt$ est convergente.

\item On pose alors, pour tout $k,$ $I_{k}=\int\limits_{0}^{+\infty
}t^{k}e^{-t}dt.$\newline
Trouver une relation de récurrence entre $I_{k}$ et $I_{k+1}.$ En déduire $%
I_{k}.$

\item A tout polynôme $p$ de $E,$ on associe la fonction $r$ définie par :%
\begin{equation*}
r(x)=\int\limits_{0}^{+\infty }(t^{2}-4xt-2x^{2})e^{-t}p(t)dt.
\end{equation*}%
L'application $p\mapsto r$ est visiblement un endomorphisme de $E.$\newline
Quelle est la matrice $A$ de cet endomorphisme dans la base canonique de $E$
?

\item Chercher les valeurs propres de $A$ et, pour chacune d'elles, préciser
les polynômes constituant l'espace propre associé.
\end{enumerate}

\section*{TROISIEME PARTIE}

Dans cette partie, $k$ est toujour entier, mais appartient à l'ensemble des
entiers $\{0,1,2\}$\newline
On donne une constante $a$ réelle non nulle et une fonction $q$, continue
sur $\mathbb{R}$, telle que les intégrales :%
\begin{equation*}
\int\limits_{0}^{+\infty }t^{k}e^{-t}q(t)dt
\end{equation*}%
soient convergentes.\newline
On se propose de chercher les fonctions $f$ vérifant le système $(S)$ de
conditions suivantes :

\begin{quotation}
$i)$ $f$ est continue sur $\mathbb{R},$\newline
$ii)$ Quel que soit $k,$ l'intégrale impropre $\int\limits_{0}^{+\infty
}t^{k}e^{-t}f(t)dt$ converge.\newline
$iii)$ Pour tout $x$ de $\mathbb{R}_{+}:f(x)=\dfrac{1}{a}\int\limits_{0}^{+%
\infty }(t^{2}-4xt-2x^{2})e^{-t}f(t)dt+q(x).$
\end{quotation}

\begin{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $q$ est la fonction nulle.

\begin{enumerate}
\item Montrer que, si $f$ est solution de $(S),$ $f$ est nécessairement un él%
ément de $E.$

\item Résoudre $(S)$ à l'aide de la partie II.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{On revient au cas général où }$q$\textbf{\ vérifie les
conditions du préambule}

\item Si $f$ vérifie $(S),$ quel système $(S^{\prime })$ vérifie la fonction 
$g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f=q+g$ ?

\item Montrer que si $g$ est solution de $(S^{\prime }),$ $g$ est né%
cessairement un élément de $E,$ dont on notera $G$ la matrice unicolonne
dans la base canonique de $E.$

\item Montrer qu'alors $G$ vérifie 
\begin{equation*}
AG-aG=%
\begin{pmatrix}
y_{0} \\ 
y_{1} \\ 
y_{2}%
\end{pmatrix}%
,
\end{equation*}%
où $y_{0},$ $y_{1},$ $y_{2}$ sont $3$ valeurs données par des intégrales
impropres convergentes dépendant de la fonction $q.$

\item Pour quelles valeurs de $a,$ le système $(S^{\prime })$ puis le systè%
me $(S)$ ont-il une solution unique ?

\item Pour $b$ réel, on pose $q(x)=e^{-bx}.$ Pour quelles valeurs de $b$ la
fonction $q$ satisfait-elle aux conditions du préambule ?\newline
Résoudre alors le système $(S)$ dans le cas $a=-2.$ On discutera selon les
valeurs de $b.$
\end{enumerate}

\label{fin}

\end{document}
</pre></body></html>